103
Следовательно, если сталкиваются два одинакового радиуса шара, то от-
ношение
a
2
/
h=R/
2, а если шар сталкивается с плоскостью упругого полупро-
страннства, то
a
2
/
h=R.
Оценим, какой сдавливающей силе
F
эквивалентна относительная ско-
рость
0
v
при прямом центральном ударе двух шаров. Эквивалентные
F
и
0
v
должны привести к одинаковой области касания и одинаковому значению вдав-
ления
0
h
.
Сопоставив выражения (4.67) и (4.75), приходим к равенству
2 / 5 2
2
2
2
2
2 2
3
3
0
3
0
0
2Λ
Λ
μ
v
FD
R R
R R
h
a a
F D = 2 D F = h
a
RR
RR
k
′
′
+
+
= = =
=
=
′
′
,
или
2 / 5
3/ 5
2
2 2
6 / 5
3
0
0
μ 1
Λ μ ,
Λ
v
2 D F =
F=
v
k
D 2 k
,
где
1 2
1 2
4
, μ
5
mm
RR
k=
=
D R+R m m
′
′
+
.
Если заданы параметры шаров
Λ,
D
и сдавливающая их сила
F
, то
( )
2 2
3
3
3
0
2
2
3 3 2Λ
,
Λ ,
0,0
Λ
π 2π
z
FD
F
F
a= h= 2 D F P
2
2 a
D
= =
.
Определим параметры области касания и распределения
контактного на-
пряжения
по этой области а также тангенциальные (скалывающие) напряжения
σ , σ
xx yy
(2.65), возникающие в области касания и в объеме сдавливаемых шаров
произвольных радиусов и различных упругих свойств. Отметим, что макси-
мальные касательные напряжения имеют место в точке
A
объема шаров, нахо-
дящейся на оси
z
и отстоящей от центра области касания на расстоянии 0,786
a
.
В табл. 1 приводятся значения величин
( )
( )
0
0
0
, ,
0,0 ,
,
z
a h P F v v
для прямо-
го центрального удара двух стальных шаров одинакового радиуса с относитель-
ной скоростью
0
v
.
Пусть
R
= 1,5см,
ρ
Fe
= 7,8∙10
-3
кг/м
3
,
E
Fe
= 2∙10
11
Па,
σ
Fe
= 0,29.
Тогда
m
1
= 4
π
R
3
ρ
Fe
/3 = 110,27∙10
-3
кг, 1-
σ
2
=
0.9159.
1
3
1
1/ 2
300м
μ 55,14 10 кг, 2Λ
133,33 м ,
Λ 11,55 м ,
2
2, 25
m
R R
= =
2 =
RR
−
−
−
−
′+
= = ⋅
=
′
2
2
2
12
1
11
2,7477
3 1 σ 1 σ 3 1 σ
6,869 10 Па ,
4
2
4 10 Па
D=
=
=
=
E E
E
−
−
′
− −
−
+
⋅
′
⋅
10
1/ 2
12
1
1/ 2
4
4
1,008358 10 Па м .
5
5 6,869 10 Па 11,55 м
RR
k=
D R+R
−
−
−
′ =
=
⋅
′
⋅
⋅
⋅
Следовательно,
