97
случаю, когда сдавливающими силами являются силы инерции (массовые силы)
при столкновении шаров. Как видно на рис.27,
б
, во всех точках области сопри-
косновения выполняется равенство
z
+
u
z
+
z
′ +
u′
z
=
h
, (4.32)
где
z
и
z
′ определяются равенствами(4.1) и (4.31) соответственно.
В точках вне области соприкосновения, где поверхности
S
и
S
′ не со-
прикасаются, имеет место неравенство
z
z
z+u z +u h
′ ′
+ >
. (4.33)
Подставляя (4.1) и (4.31) в (4.32), получим
2
2
2
2
11
12
21
22
11
12
21
22
z
z
a x a xy+a yx+a y a x a xy+a yx+a y u u h
′
′
′
′
′
+
+ +
+ + =
или
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
11 11
12 12
21 21
22 22
z
z
a a x a +a xy+ a +a yx+ a +a y u u h
′
′
′
′
′
+ +
+ + =
. (4.34)
Соответствующим выбором нового базиса приведём к каноническому ви-
ду сумарную квадратичную форму
Z
0
в (4.34):
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
0
11 11
12 12
21 21
22 22
Z z+z = a a x a +a xy+ a +a yx+ a +a y
′
′
′
′
′
=
+ +
.
То есть приведём матрицу этой формы
)
(
)
(
)
(
)
(
11 11
12 12
0
21 21
22 22
a a a a
A
a a a a
′
′
+
+
=
′
′
′
+
+
(4.35)
к диагональному виду:
1
0
2
Λ 0
0 Λ
A
=
, (4.36)
где
Λ
1
и
Λ
2
- корни характеристического уравнения:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
11 11
12 12
0 0
21 21
22 22
Λ
Det
0
Λ
a a
a a
A A
a a
a a
′
′
+ −
+
− =
=
′
′
+
+ −
. (4.37)
Решениями этого квадратного уравнения, согласно (4.7), будут
) (
(
)
(
)
)
(
)
(
2
11 11
22 22
11 11 22 22
12 12 21 21
1,2
4
Λ
2
a a a a
a a a a
a a a a
′
′
′
′
′
′
+ + + ± + − − + +
+
=
. (4.38)
Поскольку
12 21 12 21
,
a a a a
′
′
=
=
, то
12 12 21 21
a +a a +a
′
′
=
.
Следовательно, согласно (4.38), получим
) (
(
)
) (
(
)
1
2
11 11
22 22
11 22
11 22
Λ Λ
a a a a a a a a
′
′
′
′
+ = + + + = + + +
, (4.39)
(
)
)
(
2
2
1
2
11 22 11 22
12 12
Λ Λ
4
a a a a
a a
′
′
′
− = − + − + +
,
(
) (
) (
)
(
)
)
(
2
2
2
1
2
11 22
11 22
12 12
Λ Λ
4
a a a a
a a
′
′
′
− = − + − + +
. (4.40)
Из равенства (4.7) следует, что
(
)
(
) (
)
2
2
2
2
2
1 2 11 22
1 2
11 22
12
1 2
11 22
12
λ λ
, λ λ
4 ,
λ λ
4
a a
a -a
a
a -a
a
+ = +
− =
+
− =
+
.
Поскольку,
1
2
1
2
1
1
λ
, λ
2
2
R
R
=
=
, то
