101
Это равенство должно выполняться тождественно во всех точках внутри
эллипса соприкосновения, следовательно, коэффициенты соответствующих сла-
гаемых в левой и правой части (4.61) должны быть равны, то есть
(
)(
)
2
2
0
ξ
π
ξ
ξ ξ
d
FD h
a b
∞
=
+ +
∫
, (4.62)
(
) (
)(
)
1
2
2
2
0
ξ
Λ
π
ξ
ξ
ξ ξ
d
FD
a
a b
∞
=
+
+ +
∫
, (4.63)
(
) (
)(
)
2
2
2
2
0
ξ
Λ
π
ξ
ξ
ξ ξ
d
FD
b
a b
∞
=
+
+ +
∫
. (4.64)
Эти интегралы эллиптические.
Таким образом, если известны кривизны главных сечений
R
1
,
R
2
первого
тела и
R
′
1
,
R
′
2
второго тела в точке касания
O
, а также взаимная ориентация
двух тел, (угол
ϕ
между главными сечениями
R
1
первого тела и
R
′
1
- второго
тела), то сможно определить
Λ
1
и
Λ
2
. Далее, если известны материалы этих
двух однородных и изотропных тел, то есть известны их модули Юнга
E
,
E
′ и
коэффициенты Пуассона
σ
,
σ
′, если известна сила F, прижимающая эти тела
друг к другу перпендикулярно плоскости касания, то, решая уравнения (4.63) и
(4.64) относительно
a
и
b
, находим полуоси эллипса соприкосновения. Далее,
подставляя полученные значения
a
и
b
в уравнение (4.62), определяем вели-
чину
h
.
Форму поверхности тел, то есть изменение первоначальной формы, вне
области соприкосновения можно установить, определяя
z
u
и
z
u
′
вне области
соприкосновения теми же формулами (4.50) и (4.60). Значения этих интегра-
лов опять определяются по аналогии с потенциалом поля заряженного эллип-
соида в пространственной области вне эллипсоида [40]. По формулам (2.114)
можно определить распределение деформации по объёму тел на малых расстоя-
ниях по сравнению с размерами тел.
Подчеркнем, что задача
решена в общем случае двух упругих однородных
и изотропных тел с регулярной поверхностью, выпуклых в точке касания.
4.6. Соприкосновение однородных и изотропных шаров
Применим полученные результаты для случая соприкосновения двух уп-
ругих однородных изотропных шаров произвольных радиусов
R
и
R
′, сдавли-
ваемых друг к другу постоянной силой, перпендикулярной общей касательной
плоскости. В этом случае силы трения в зоне контакта тел будут отсутствовать.
Напомним, что получаемые на основе теории Герца результаты справедливы
при малых (упругих) деформациях, когда размеры области соприкосновения
много меньше радиусов шаров.
В этом случае
R
1
=
R
2
=
R
и
R
′
1
=
R
′
2
=
R
′. Все нормальные сечения яв-
ляются главными, поэтому угол
ϕ
теряет свой смысл (неопределён). Из (4.44)
следует, что
Λ
1
-
Λ
2
= 0, или
Λ
1
=
Λ
2
=
Λ
. Тогда, как следует из (4.43)
