108
Введём обозначение
4
5
RR
k=
D R+R
′
′
.
Максимальное сближение шаров
h
0
соответствует моменту, когда их от-
носительная скорость превращается в нуль
dh
t
/
dt
= 0. Следовательно, из (4.74)
получим
2 / 5 2
2 5/ 2
0
0 0
0
μ
μ
v
v h k, h
k
=
=
. (4.75)
Продолжительность удара
τ
- это время, за которое сближение шаров
t
h
меняется от нуля до
0
h
и обратно до нуля. Из (4.74) следует, что
2
2 5/ 2
0
μ
t
t
dh
k
v h
dt
= −
.
Разделив переменные
t
и
h
, получим
2 5/ 2
0
μ
t
t
dh
dt=
k
v h
−
.
Следовательно,
0
0
5/ 2
5/ 2
2
0
0
0
0
2
0
2
τ 2
1
μ
μ
h
h
t
t
t
t
dh
dh
v
kh
kh
v
v
=
=
−
−
∫
∫
. (4.76)
Введём обозначение
5/ 2
5/ 2
2
0
μ
t
kh x
v
=
, тогда с учетом (4.75) получим
0
0
2 / 5 2
0
0
,
, 0
, 0 1
μ
t
t
t
t
h
h
x=
dh h dx
h h
x
h
v
k
=
=
≤ ≤ ≤ ≤
.
Интеграл (4.76) примет вид
1/ 5
1
1
2
0
2
5/ 2
5/ 2
0
0
0
0
2
μ
τ
2
1
1
h dx
dx
v
k v
x
x
=
=
−
−
∫
∫
. (4.77)
Интегралы типа
(
)
1
1/
0
1
n m
dx
x
−
∫
(4.78)
решаются с помощью подстановки
x
m
=
u
[41, с. 50]. То есть
(
)
(
)
1
1
1/
1/
1
1/
0
0
1
1 1 1
1
B ,1
1
n
m
n m
dx
u
u du
m
m m n
x
−
−
=
−
=
−
−
∫
∫
. (4.79)
Это интеграл Эйлера первого рода - Бета-функция (В – функция):
( )
( )
1
1
1
0
B ,
1
q
p
p q t
t
dt
−
−
≡
−
∫
, (4.80)
которая связана с интегралом Эйлера второго рода (Гамма-функцией) соотно-
шением
