94
а в случае
( )
Det
1
L
=−
эти системы ориентированы различно.
Формулы (4.12) можно записать в виде
L
r r
=
или
11 12
21 22
l
l
x
x
=
l
l
y
y
, (4.19)
а формулы (4.8) в виде
1
L
r r
−
=
или
1
x
x
=L
y
y
−
. (4.20)
Если базис ортогональный, то (4.20), согласно (4.17) и (4.14), примет вид
11 21
1
1
-1
12 22
2
2
*
l
l
l m
x
x
x
x
x
=L =L =
l
l
l m
y
y
y
y
y
≡
, (4.21)
а (4.19), согласно (4.14), соответственно
1
2
1
2
l
l
x
x
=
m m
y
y
. (4.22)
2.
Для симметрического линейного преобразования координат
11
12
21
22
x=a x+a y
y=a x+a y
, (4.23)
с матрицей (4.3) для квадратичной формы (4.1) в базисе
,
x y
e e
находим два еди-
ничных собственных вектора с собственными числами
λ
1
и
λ
2
так, чтобы эти
векторы были перпендикулярны друг другу. Обозначим их через
,
x y
e e
, где
}
{
}
{
1 1
2 2
,
x
y
l ;m
l ;m
e
e
=
=
. Перейдём к базису
,
x y
e e
. В этом базисе
1
2
λ 0
A
0 λ
=
. (4.24)
Следовательно, в этом базисе (4.1) примет канонический вид:
2
2
1
2
λ λ
z x y
= +
. (4.25)
При обратном переходе к базису
,
x y
e e
координаты всех векторов преоб-
разуются согласно матричному равенству:
1
2
1
2
l
l
x
x
=
m m
y
y
. (4.26)
4.4. Корни характеристического уравнения
Таким образом, для приведения заданной квадратичной формы (4.1) к
простейшему виду (канонический вид) мы ввели некоторое симметрическое ли-
нейное преобразование:
11 12
21 22
a a
x
x
x
=A =
a a
y
y
y
, (4.27)
