107
ренной в (4.6) общей задачи, когда
R
1
<<
R
2
→ ∞,
R
′
1
,
R
′
2
→ ∞.. То есть точка
касания двух тел превращается в прямую линию касания (образующая цилинд-
ра), состоящую из параболических точек поверхности цилиндра. Гауссова кри-
визна поверхности любого цилиндра равна нулю.
В этом случае
R
1
> 0,
R
2
= ∞ и
R
′
1
=
R
′
2
= ∞. Или
R
2
,
R
′
1
,
R
′
2
>>
R
1
> 0.
Согласно (4.43) и (4.44), получаем
2(
Λ
1
+
Λ
2
) = 1/
R
1
, 4(
Λ
1
-
Λ
2
)
2
= 1/
R
1
2
.
Или
Λ
1
+
Λ
2
= 1/(2R
1
) ,
Λ
1
-
Λ
2
= ± 1/(2R
1
).
Два решения этой системы не отличаются:
Λ
1
= 1/(2
R
1
),
Λ
2
=0 и
Λ
1
=0,
Λ
2
= 1/(2
R
1
). (4.71)
Полуширина полосы соприкасания цилиндра с плоскостью приводится в
решении задачи 4.2.
4.8. Продолжительность удара двух упругих шаров
Задача
1.
Определение времени, в течение которого соприкасаются два
сталкивающихся упругих шара произвольных радиусов.
В системе отсчёта, где центр инерции обох шаров покоится, суммарная
кинетическая энергия шаров до столкновения равна кинетической энергии их
относительного движения:
2
0
1
2
μ
2
k
k
k
v
E E E
∗
∗
∗
= + =
,
где
0
v
- относительная скорость сталкивающихся шаров (
0 1 2
v v v
= −
), а
µ
- их
приведённая масса:
1 2
1 2
μ
mm
m+m
=
.
Действительно, в системе отсчёта центра масс ЦМ двух шаров суммарный
импульс
P
*
тел равняется нулю:
P
*
=
m
1
v
1
+
m
2
v
2
= 0,
v
1
= -
m
2
v
2
/
m
1
и v
2
= -
m
1
v
1
/
m
2
. (4.72)
В нерелятивистском случае
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
1
2
2
2
2
1 2 1 1
2 2
1 2 1 1 2 2 1 2
1 2 1 2
2
1
1 2
1 2
1 2
2
2
2
2
1 1
2 2
1 2
1
2
1
2
1
2
1 2
2
2
2
.
2
2 2
k
k
k
m m
mm v +v
v v
mm v vv v vv
mm v -v
m
m
E
m m
m m
m m
mv m v m m v
v
m m E E
m m
∗
∗
∗
+ +
− + −
=
=
=
=
+
+
+
+
+
=
= + = +
+
(4.73)
Пусть удар является прямым и центральным [12]. С момента начала со-
прикосновения кинетическая энергия относительного движения шаров будет
превращаться в потенциальную энергию их упругой деформации. Согласно
(4.68), получим
( )
2
2
2
5/ 2
0
2
μ
μ μ
2 2
2
5
t
t
t
v v
dh h RR
U t
dt
D R+R
′
= + =
+
′
. (4.74)
