113
1. Образующие цилиндров перпендикулярны друг друга (см. рис. 8 к задаче
2.5). В этом случае область соприкосновения вокруг точки касания
O
в об-
щем случае будет эллипсом, отношение полуосей которого (
a
/
b
) будет оп-
ределяться из уравнений (4.63) и (4.64).
2. Образующие цилиндров параллельны. Тела касаются вдоль отрезка пря-
мой, являющейся общей образующей двух цилиндров. Если материал цилин-
дров, их радиусы и длины совпадают:
b
=
b
′ и
R
1
=
R
′
1
, то область сопри-
косновения из соображений симметрии будет плоским и узким прямоуголь-
ником с шириной 2
a
и длиной
b
, причём
b
/
a
→ ∞.
Предположим, что значения радиусов цилиндров удовлетворяют условию
R
1
<<
R
′
1
. Это практически означает, что цилиндр радиуса
R
1
прижимается к
упругому полупространству
R
′
1
→ ∞. В этом случае область соприкосновения
представляет собой прямоугольный участок цилиндрической поверхности с ра-
диусом
R
*
>
R
1
(см. рис.12,
б
, 13 в задаче 1.6). Это и является причиной появле-
ния силы трения качения.
Распределение давления на площадке соприкосновения двух цилиндров
будет зависеть только от расстояния
x
до образующей начального касания и,
согласно (4.59), будет иметь вид
P
z
(
x
) = const (1 -
x
2
/
a
2
)
1/2
, где -
a
≤
x
≤ +
a
. (4.94)
Определим значение константы. Пусть
F
сдавливающая сила, отнесённая
к единице длины цилиндров, тогда
( )
(
)
1
2
2
2
0
π / 2
0
dx const 1
2 const 1
π
const 1 cos 2φ φ const.
2
a
a
z
a
a
x
F P x
dx a
u du
a
a
a
d
+
+
−
−
=
=
− =
− =
=
−
=
∫
∫
∫
∫
Следовательно, const = 2
F
/(
π
a
) и
P
z
(
x
) = (2
F
/(
π
a
))(1 -
x
2
/
a
2
)
1/2
. (4.95)
Подставляя (4.95) в (4.50) и интегрируя с помощью тождества (4.57), по-
лучим
(
)
1
3/ 2
2
2
0
ξ
4
8
Λ
3π
3π
ξ ξ
d
DF
DF
a
a
∞
=
=
+
∫
,
Λ
1
= (4
DF
)/(3
π)
∫(1/((
a
2
+
ξ
)
3/2
ξ
))
d
ξ
= 8
DF
/(3
π
a
2
)
.
Или
1
8
3πΛ
DF a
=
. (4.96)
Система уравнений (4.43) и (4.44) для случая двух цилиндров, соприка-
сающихся вдоль общего образующего, принимает вид
2(
Λ
1
+
Λ
2
) = 1/
R
1
+ 1/
R
′
1
,
4(
Λ
1
-
Λ
2
)
2
= (1/
R
1
)
2
+ (1/
R
′
1
)
2
+ 2 (1/
R
1
) (1/
R
′
1
) cos2
ϕ
,
где угол
ϕ
= 0, то есть
2(
Λ
1
+
Λ
2
) = 1/
R
1
+ 1/
R
′
1
,
2(
Λ
1
-
Λ
2
) = 1/
R
1
+ 1/
R
′
1
.
Решениями этой системы являются
