109
( )
(
)
1
0
Γ lim B ,
e
z
z
t
m
z
m z m t
dt
∞
− −
→∞
≡
=
∫
, (4.81)
где
z
является комплексным числом. Если Re(
z
) > 0, то
( )
1
0
Γ
e
z
t
z t
dt
∞
− −
=
∫
.
Кроме того, для интегралов Эйлера имеют место соотношения
B(
p
,
q
) = Г(
p
)Г(
q
)/Г(
p
+
q
) и Г(
z
+ 1) =
z
Г(
z
). (4.82)
С учётом этих соотношений для интеграла (4.79) получаем
(
)
1
1/
0
1
1
1
1
Γ Γ 1
Γ 1 Γ 1
1 1 1 1
B ,1
1 1
1 1
1
Γ 1
Γ 1
n m
dx
m n
m n
m m n m
x
m n
m n
−
+
−
=
− =
=
−
+ −
+ −
∫
. (4.83)
Применяя эту формулу для (4.77), получим
( ) ( )
( )
1
5/ 2
0
2
1
Γ 1 Γ 1
Γ 1, 4 Γ 0,5
5
2
2 1
Γ 0,9
1
Γ 1
5 2
dx
x
+
−
=
=
−
+ −
∫
. (4.84)
Из теории Бета-функции известно [41, с. 19], что
B(
p
, 1-
p
) =
π
/sin(
p
π)
. (4.85)
Следовательно, B(1/2, 1/2) =
π
. С учётом (4.82)
B(1/2, 1/2) = (Г(1/2))
2
/Г(1) =
π
.
Применив (4.82) к (4.85) и учитывая, что согласно (4.81) Г(1) = 1, получим
Г(
z
)Г(1-
z
) =
π
/sin(
z
π).
(4.86)
Из равенств (4.86) и (4.82) следует, что достаточно знать значения Г(
z
) для
интервала 0 <
z
≤ 1/2, для всех остальных
z
функция Г(
z
) определяется из
(4.86) и (4.82). Если в (4.86) заменить
z
на
z
+1/2, то получим
Г(1/2+
z
)Г(1/2-
z
) =
π
/sin((
z
+1/2)
π) = π
/cos(
z
π).
(4.87)
Полагая в (4.87)
z
= 0, получим (Г(1/2))
2
=
π
.
Следовательно,
( )
Γ 1/ 2 π
=±
.
С учётом определения Г-функции (4.81) выбираем значение
( )
Γ 1/ 2 π
=+
. (4.88)
Согласно (4.82) для целочисленных
n
, получим понижающую формулу
Г(
n
+1/2) = (
n
-1/2)∙(
n
-3/2)∙(
n
-5/2)∙(
n
-7/2)∙∙∙5/2∙3/2∙1/2∙Г(1/2),
а также Г(
n
+1) =
n
! (
n
= 0, 1, 2, 3, ∙∙∙ ).
В таблицах значений Г-функции [37, с. 741] находим значения
Г(7/5) = Г(1,4) = 0,8873 и Г(0,9) = Г(1,9)/0,9 = 0,9618/0,9 = 1,0687.
Подставляя эти значения вместе с (4.88) в (4.84), получаем
1
5 / 2
0
dx
1 x
−
∫
= 0,8873∙
π
1/2
/1,0687 = 0,8873∙1,7725/1,0687 = 1,47164. (4.89)
Следовательно, время удара
τ
из (4.77) будет
