95
имеющее ту же матрицу, что и данная квадратичная форма. Направления собст-
венных векторов этого преобразования называются главными направлениями
данной формы (4.1).
Когда квадратичная форма приводится к простейшему виду, тем самым
осуществляется переход к ортогональному базису, векторы которого имеют
главные направления данной формы. Коэффициенты
λ
1
и
λ
2
в каноническом
виде (4.25) квадратичной формы (4.1), называются характеристическими чис-
лами квадратичной формы. Они же являются корнями характеристического
уравнения и собственными числами собственных векторов линейного преобра-
зования (4.27).
Если
λ
1
≠
λ
2
, то форма имеет единственную пару главных направлений,
которые перпендикулярны друг другу. Если
λ
1
=
λ
2
=
λ
, то любое направление
является главным и квадратичная форма (4.1) в любом ортогональном базисе
имеет простейший вид:
z
=
λ
1
x
2
+
λ
2
y
2
=
λ
(
x
2
+
y
2
). (4.28)
Когда известны характеристические числа формы (4.1), то можно оценить,
в каких пределах меняется значение этой формы. Действительно, предположим
λ
1
≤
λ
2
, тогда из (4.25) получим
λ
1
(
x
2
+
y
2
) ≤
z
≤
λ
2
(
x
2
+
y
2
). (4.29)
В точках единичной окружности
x
2
+
y
2
= 1 (4.29) принимает вид
λ
1
≤
z
≤
λ
2
. (4.30)
Характеристические числа являются границами изменения численных
значений квадратичной формы канонического вида на единичной окружности
в новом базисе
x
y
,
e e
.
•
Если
λ
1
> 0 и
λ
2
> 0, то квадратичная форма (4.25) положительна во
всех точках, кроме начала координат, где
z
= 0. Такая форма называется
положительно определённой, а поверхность является выпуклым эллипти-
ческим параболоидом.
•
Если
λ
1
< 0 и
λ
2
< 0, то квадратичная форма (4.25) отрицательна во всех
точках, кроме начала координат, где
z
= 0. Такая форма называется отри-
цательно определённой, а поверхность является вогнутым эллиптическим
параболоидом.
•
Если
λ
1
и
λ
2
- числа разных знаков, то квадратичная форма (4.25) назы-
вается знакопеременной. Из (4.25) нетрудно определить условия, когда
z
> 0,
z
< 0 и
z
= 0. Поверхность, представляемая такой формой, в точке
O
будет выпукло вогнутой, или вогнуто выпуклой. Это гиперболический
параболоид.
Всё, что было рассмотрено для поверхности
S
, можно повторить и для
поверхности второго тела
S
′.
4.5. Соприкосновение параболоидных поверхностей
Эту процедуру можно провести для любой поверхности второго порядка
[39], однако в целях данной задачи нас интересуют параболоиды. Они, в отли-
