100
где интегрирование производится по площади внутри эллипса
x
′
2
/
a
2
+
y
′
2
/
b
2
= 1.
На основании единственности решения электростатической задачи [40],
приравнивая оба выражения для
ϕ
(
x
,
y
) в (4.53) и (4.56), получим тождество
(
) (
)
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
1
1
ξ
ξ
π
ξ
2
ξ
ξ ξ
y
x
y x
a b
ab
a b dx dy
d
a b
x x y y
∞
′
′
− −
− −
+ +
′ ′ ≡
+ +
′
′
− + −
∫∫
∫
. (4.57)
Сравнивая (4.50) с (4.57) приходим к заключению, что их правые части
представляют собой квадратичные функции от
x
и
y
одинакового вида, а ле-
вые части - интегралы одинакового типа.
Следовательно, область интегрирования в (4.50) также является эллипсом
вида
x
′
2
/
a
2
+
y
′
2
/
b
2
= 1. Это значит, что область соприкосновения есть такой же
эллипс. Кроме того, давление на области соприкосновения в направлении оси
z
должно иметь вид
( )
2
2
z
2
2
,
const 1
y x
P x y
a b
=
− −
. (4.58)
Значение константы должно удовлетворить условию
( )
2
2
2
2
2π
,
const
1
const
3
z
y x
ab
P x y dxdy F
dxdy
a b
= =
− −
=
∫∫
∫∫
.
Следовательно,
3
const
2π
F
ab
=
и, согласно (4.58),
( )
( )
2
2
2
2
z
z
2
2
2
2
3
3
,
1
,
1
2π
2
y
y
F x
x
P x y
P x y
ab a b
a b
=
− − =
− −
, (4.59)
где ‹
P
z
(
x
,
y
)› =
F
/(
π
ab
) является средним значением давления в области сопри-
косновения тел (отношение действующей по оси
z
силы
F
на площадь эллипса).
Давление на краях области исчезает, а в центре эллипса в полтора раза больше,
чем среднее значение по области соприкосновения
( )
( )
3
3
0,0
,
2
2π
z
z
F
P
P x y
ab
=
=
.
Подставляя значение
P
z
(
x
,
y
) из (4.59) в уравнение (4.50), получим
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1 1 σ 1 σ 3
Λ Λ
π
2π
y x
F
a b dx dy h x y
E E
ab x x y y
′
′ − −
′
− −
′ ′
+
= − −
′
′
′
− + −
∫∫
.
Заменив интеграл его значением из (4.57) и введя обозначение
2
2
3 1 σ 1 σ
4
D=
E E
′
− −+
′
, (4.60)
окончательно получим
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
0
1
ξ
ξ ξ Λ Λ
π
ξ
ξ ξ
y
x
a b
FD
d h x y
a b
∞
− −
+ +
≡ − −
+ +
∫
. (4.61)
