99
Из уравнений (4.46) и (4.49) можно определить
u
z
и
z
u
′
, если известны
значения параметров
σ
,
σ
′,
E
,
E
′
R
1
,
R
2
,
R
′
1
,
R
′
2
,
ϕ
(то есть
Λ
1
и
Λ
2
).
Уравнения (4.47), (4.48) и (4.49) справедливы и в точках плоскости
xoy
вне
области соприкосновения тел. Подставляя (4.47) и (4.48) в (4.46) получим
)
(
2
2
z
2
2
1
2
,
1 1 σ 1 σ
Λ Λ
π
r
P x y
dx dy h x y
E E
′ ′
′
− −
′ ′
+
= − −
′
∫∫
, (4.50)
где
)
)
(
(
2
2
r x x y y
′
′
= − + −
.
С помощью этого интегрального уравнения определяется распределение
давления
P
z
(
x
,
y
) по области соприкосновения. Для его решения используется
аналогия с теорией потенциала электростатического поля – потенциала, созда-
ваемого некоторым распределением зарядов.
Потенциал поля внутри равномерно заряженного эллипсоида есть квадра-
тичная функция координат точки наблюдения [40].
Если по объёму трёхосного эллипсоида
x
2
/
a
2
+
y
2
/
b
2
+
z
2
/
c
2
= 1 (4.51)
равномерно распределён заряд с постоянной плотностью
ρ
(
x
,
y
,
z
), то потенциал
поля внутри эллипсоида представляется выражением
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
ξ
φ , ,
π ρ 1
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
y
d
x
z
x y z k abc
a b c
a b c
∞
=
− − −
+ + +
+ + +
∫
. (4.52)
Эллипсоид можно получить из шара радиуса
R
путём равномерного по-
очередного сжатия вдоль оси
x
в
k
x
=
R
/
a
раз; вдоль оси
y
в
k
y
=
R
/
b
раз;
вдоль оси
z
в
k
z
= R/
c
раз. Если продолжать сжатие вдоль оси
z
так, чтобы
c
→ 0
(значит и
z
→ 0 внутри эллипсоида), то (4.52) примет вид
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
0
ξ
φ , ,
π ρ 1
ξ
ξ
ξ
ξ ξ
y
d
x
x y z k abc
a b
a b
∞
=
− −
+ +
+ +
∫
. (4.53)
С другой стороны потенциал
ϕ
(
x
,
y
,
z
) может быть представлен в виде
)
(
)
(
(
) (
) (
)
2
2
2
ρ , ,
φ , ,
x y z dx dy dz
x y z k
x x y y z z
′ ′ ′
′ ′ ′
=
′
′
′
− + − + −
∫∫∫
, (4.54)
где
k
= 1/(4
πε
o
) - константа, а интегрирование производится по объёму эллип-
соида. Переходя здесь к пределу
c
→ 0, мы должны положить под корнем в
(4.54)
z
=
z′
= 0 и провести интегрирование по
z
в пределах, определяемых из
(4.51).
2
2
2
2
2
2
2
2
1
z
1
y
y
x
x
c
c
a b
a b
′
′
′
′
− − − ≤ ≤+ − −
. (4.55)
После интегрирования (4.54) получим
)
(
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
1
φ ,
2 ρ
y x
a b
x y kc
dx dy
x x y y
′
′ − −
′ ′
=
′
′
− + −
∫∫
, (4.56)
