102
Λ
1
+
Λ
2
= 2
Λ
= 1/
R
+1/
R
′
или
Λ
= (1/R + 1/R′)/2. (4.65)
Из соображений симметрии следует, что
a
=
b
и область соприкоснове-
ния представляет собой круг радиуса
a
.
Учитывая симметрию из (4.63), получим
(
)
2
3
3
2
0
ξ
π
Λ
π
π 2 2
ξ ξ
d
FD
FD FD
a a
a
∞
=
=
=
+
∫
.
Следовательно, с учётом (4.65) для радиуса
a
получим
2
2
3
3
3
3 1 σ 1 σ
2Λ
4
FD
RR
a
F
R R E E
′
′
− −
= =
+
′
′
+
. (4.66)
Величина
h
в этом случае есть разность между (
R
+
R
′) и расстоянием
между центрами шаров. Из равенства (4.62) получим
(
)
2
0
ξ
π
ξ ξ
d
FD h
a
∞
=
+
∫
.
Поскольку
(
)
( )
(
)
(
)
2
2
2
2
0
0
0
0
0
ξ
ξ
2
2
2
π
2
arctg
a 1
ξ ξ
ξ
1
ud
d
d
dv
a
d
v
a
v a
a
a
a
u
a
∞
∞
∞
∞
∞
=
=
=
=
=
+
+
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
,
то с учётом (4.65) и (4.66)
2
2
2
2
3
3
2Λ
FD
R R
R R
h
a a
F D
a
RR
RR
′
′
+
+
= = =
=
′
′
. (4.67)
Видно, что сближение тел
h
пропорционально
F
2/3
сдавливающей силы.
Таким образом,
h
= const
F
2/3
и
F
= const
h
3/2
.
Эти соотношения справедливы и для случая соприкосновения других ко-
нечных тел, что следует из соображений подобия.
Потенциальная энергия
U
упругой деформации каждого из соприкасаю-
щихся шаров определяется соотношением
( )
U F
h
∂
− =−
∂
.
Подставляя выражение
F
через
h
из равенства (4.67) и проинтегрируя в
интервале значений 0 <
h
<
h
0
, получим
3
5
0
0
2
5
0
h
h RR
RR
U
dh
h
D R R D R R
′
′
=
=
′
′
+
+
∫
. (4.68)
Из (4.67) следует, что величина
h
/
a
2
= (1/
R
+ 1/
R
′) = (
R
+
R
′)/(
RR
′) зависит
только от радиусов шаров и не зависит от влияющей силы
F
и от параметров
E
,
E
′,
σ
,
σ
′ материалов шаров. Значение отношения
a
2
/
h
ограничено интервалом
R
/2 ≤
a
2
/
h
= (
RR
′)/(
R
+
R
′) ≤
R
, (4.69)
где
R
- меньший из радиусов двух шаров.
