110
1/ 5
2
0
0
2
0
0
0
2
μ
τ
1, 47164 2,9433 2,9433
h
h
v
v
k v
=
=
=
. (4.90)
Подставляя значения
µ
,
k
и
D
, получим
(
)
(
)
1/ 5
2
2
2
2
1 2
1
2
1 2
225 R R
m m
1 σ 1 σ
τ 2,9433
m m
E E
256 RR v v
′
⋅ +
′
− −
=
+
′
′
+
⋅
−
. (4.91)
4.9. Удар шара с покоящейся массивной плитой
Рассмотрим столкновение стального шара радиуса
R
и массы
m
1
с ша-
ром большой массы
2 1
/
m m
→∞
и радиуса
/
R R
′
→∞
. Можно считать, что проис-
ходит сталкновение шара с плоской поверхностью упругого полупространства
массы
m
2
>>
m
1
, то есть с массивной плитой. Формула (4.91) в этом случае уп-
рощается, поскольку
1 2
1
2
1 0
1 2
μ
,
σ σ
0,
mm
RR
m R R ,
R, = , E=E , v v v
m m
R R
′
′
′
′
=
→∞
=
= =
′
+
+
.
( )
(
)
1/ 5
2 2
1
1
1
1 σ
225
1
τ
2,9433
64
m
v
E Rv
−
=
. (4.92)
Если стальной шар с приведёнными выше параметрами сталкивается с та-
ким же покоящимся шаром, одинаковой массы и радиуса, то, как следует из
(4.91), продолжительность удара
τ
′(
v
1
) будет
( )
(
)
( )
1/ 5
2 2
1
1
1
5
1
1 σ
τ
121, 44
225
1
τ
2,9433
мкс
64
2
2
1,149
m
v
v
E
Rv
−
′
=
=
=
(4.93)
То есть длительность соприкосновения уменьшится на ≈15% (см. табл. 1).
Предполагается, что в рассматриваемом диапазоне скоростей удар являет-
ся упругим.
Пусть
R
= 1,5см,
ρ
Fe
= 7,8∙10
-3
кг/м
3
,
E
Fe
= 2∙10
11
Па,
σ
Fe
= 0,29.
Тогда
m
1
= 4
π
R
3
ρ
Fe
/3 = 110,27∙10
-3
кг, 1 -
σ
2
=
0.9159.
Рассчитаем
τ
для скорости
v
1
= 0,5 м/с.
( )
(
)
1/ 5
2 2
1
6
1
1 σ
225
1
τ 0,5 2,9433
121, 44 10 c
64
m
E Rv
−
−
=
=
⋅
.
В табл. 2 приведены зависимости:
•
продолжительность удара
τ
(
v
1
) =
τ
(0,5)∙(0,5/
v
1
)
1/5
(мксек);
•
сила удара
( )
1
F v
(ньютон);
•
радиус площадки контакта
( ) ( )
1
1
a v r v
=
(мм);
•
величина сдавления шара с упругим полупространством
h
(
v
1
), (мкм);
