93
x
y
x y
= +
r e e
(4.10)
x
y
x y
= +
r e e
. (4.11)
Приравнивая правые стороны равенств (4.10) и (4.11) с учётом (4.8), по-
лучим
(
) (
)
(
) (
)
11
21
12
22
11 12
21 22
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x y x y x l
l
y l
l
l x l y
l x l y
+ = + = + +
+ =
= +
+ +
e e e e
e e
e e
e
e
Следовательно,
11 12
21 22
x=l x l y; y=l x l y
+
+
. (4.12)
Из (4.12) и (4.8) видно, что преобразование координат точки или состав-
ляющего вектора при поворотах базиса осуществляется с помощью матрицы
11 12
21 22
l
l
L
l
l
=
, (4.13)
которая получается из матрицы преобразования базиса (4.9) путём транспони-
рования. Так как векторы любого базиса неколинеарны, то
Det
0
L
∗
≠
. Но по-
скольку,
Det
Det
L L
∗
=
, то и
Det
0
L
≠
.
В случае ортогональных базисов приняты обозначения
1
1
2
2
*
l m
L
l m
=
и
1
2
1
2
l
l
L
m m
=
. (4.14)
Следовательно,
1
1
x
x
y
l
m
e e e
= +
,
(
)
)
(
2
2
2
1
1
,
1
x x
x
l m
e e e
= = + =
,
2
2
y
x
y
l
m
e e e
= +
,
)
(
)
(
2
2
2
2
2
,
1
y y
y
l m
e e e
= = + =
,
)
(
1 2 1 2
,
0
x y
l l mm
e e
= + =
. (4.15)
С учётом (4.15) получим
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
1 2 1 2
1
1
1
2
2
2
2
2
1
2
2 1 2 1
2
2
*
l +m l l +mm
l m l
l
1 0
LЧL
Ч
=
= =E
l m m m
0 1
l l+m m l +m
=
. (4.16)
Следовательно, матрица
L
ортогональна, и поскольку по определению
обратной матрицы
1
L L=E
−
, то обратная матрица в этом случае совпадает с
транспонированной матрицей
1
L=L
∗ −
. (4.17)
Из (4.16)следует, что
( )
( )
Det
Det
1
L L
E
∗
=
=
.
Но
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
2
Det
Det
Det
Det
Det
Det
1
L L
L L
L L
L
∗
∗
=
=
=
=
.
Следовательно,
( )
Det
1
L
=±
. (4.18)
В случае
( )
Det
1
L
=+
системы ортов
)
(
)
(
,
,
,
x y
x y
e e e e
ориентированы
одинаково,
