98
(
)
(
)
(
)
2
2
2
11 22
11 22
12
1
2
1
2
1 1
1 1
2
,
4
4
a a
a a
a
R R
R R
+ = +
− = − +
. (4.41)
Аналогичные соотношения получим для поверхности
S
′ второго тела:
(
)
(
)
(
)
2
2
2
11 22
11 22
12
1
2
1
2
1 1
1 1
2
,
4
4
a a
a a
a
R R
R R
′
′
′
′
′
+ = +
− = − +
′
′
′
′
. (4.42)
С учётом (4.41) и (4.42) уравнения (4.39) и (4.40) примут вид
(
)
1
2
1
2
1
2
1 1 1 1
2 Λ Λ
R R R R
+ = + + +
′
′
, (4.43)
(
)
(
) (
)
(
)
)
(
(
)
(
) (
)(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
2
2
2
1
2
11 22
11 22
12 12
2
2
2
2
11 22
11 22 11 22
11 22
12
12 12
12
2
2
2
2
11 22
12
11 22
12
11 22 11 22
12 12
2
2
1
2
1
2
4 Λ Λ 4
4
4
8
4
16 32
16
4
4 4
4 8
4
1 1
1 1
a a a a
a a
a a
a a a a
a a
a a a a
a a
a
a a
a
a a a a a a
R R R R
′
′
′
− =
− + − + + =
′
′
′
′
′
′
= − + −
− + − + +
+ =
′
′
′
′
′
′
= − + + − + + −
− +
=
= − + −
′
′
2
1
2
1
2
1 1 1 1
2
cos 2φ,
R R R R
+ −
−
′
′
(4.44)
где
ϕ
есть угол между плоскостями нормальных главных сечений поверхно-
стей
S
и
S
′, в которых радиусы кривизны
R
1
и
R
′
1
.
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
11 22 11 22
12 12
2
2
2
2
11 22
12
11 22
12
4
cos 2φ
4
4
a a a a a a
a a
a a a
a
′
′
′
−
− +
=
′
′
′
− +
− +
. (4.45)
Таким образом, уравнение (4.32) можно представить в виде
2
2
z
1
2
Λ Λ
z
u u h x y
′+ = − −
. (4.46)
Пусть
P
z
(
x
,
y
) есть давление между сдавленными телами в точках их со-
прикосновения. Вне области соприкосновения, разумеется,
P
z
(
x
,
y
) = 0. При оп-
ределении зависимости
P
z
(
x
,
y
) от
u
z
(
x
,
y
) и
u′
z
(
x
,
y
) поверхности тел можно
считать плоскими и воспользоваться формулами (2.103), (2.114) и (2.115). Со-
гласно третьему уравнению в (2.115),
u
z
= (1 -
σ
2
)
F
z
/(
π
Er
), получим
)
(
2
,
1 σ
π
z
z
P x y
u
dx dy
E
r
′ ′
−
′ ′
=
∫∫
, (4.47)
)
(
2
z
,
1 σ
π
z
P x y
u
dx dy
E
r
′ ′
′− ′
′ ′
=
′
∫∫
, (4.48)
где
σ
,
σ
′,
E
,
E′
- коэффициенты Пуассона и модули Юнга первого и второго тела
соответственно. В (7.47) и (4.48) интегрирование производится только в области
соприкосновения тел, поскольку вне этой области
P
z
(
x
′,
y
′) = 0.
Разделив (4.47) на (4.48), получим
(
)
(
)
2
2
z
1 σ
1 σ
z
E
u
u
E
′
−
=
′
′−
. (4.49)
