" Н а у к а м о л о д ы х " , 3 0 - 3 1 м а р т а 2 0 1 7 г . , А р з а м а с
П о с в я щ а е т с я 1 0 0 - л е т и ю Р о с т и с л а в а Е в г е н ь е в и ч а А л е к с е е в а
680
устойчивости особую актуальность с развитием сложной техники приобрели
задачи диагностирования и прогнозирования запасов устойчивости процессов,
связанных с эксплуатацией больших технических систем [3, c.61].
Основной компонентой теории устойчивости являются точки покоя.
Актуальность их применения к решению задач обуславливается прикладным
значением во многих сферах деятельности человека, таких как медицина,
экономика, математика, физика.
Выявим основные сведения о простейших типах точек покоя.
Рассмотрим, линейную однородную систему
где
– числа, а
[2, c.73]. Данная система является
независимой. Известно, что вид ее решения напрямую зависит от
характеристических корней матрицы
Т
. Анализ литературы по дисциплине
дифференциальных
уравнений
позволил
выявить
нижеприведенные
расположения траекторий в окрестности точки покоя
О
(0;0):
1.
Пусть
,
,
. Тогда точка покоя
является асимптотически устойчивой (рис. 1а) и ее называют устойчивым
узлом.
2.
Пусть
,
,
. Тогда точка покоя не
является устойчивой и носит название неустойчивого узла (рис. 1б).
3.
Пусть
,
,
. Тогда точка покоя
неустойчивая. В науке принято называть ее седлом (рис. 1в).
Рис.1. а – устойчивый узел; б – неустойчивый узел; в – седло.
[4]
4.
Пусть
,
. Тогда точка покоя является
асимптотически устойчивой (рис. 2а) и ее называют устойчивым фокусом.
5.
Пусть
,
. Тогда такую точку покоя
называют неустойчивым фокусом (рис. 2б).
6.
Пусть
,
. Тогда точка покоя устойчива и
называется «Центр» (рис. 2в).
