М а т е р и а л ы X В с е р о с с и й с к о й н а у ч н о - п р а к т и ч е с к о й к о н ф е р е н ц и и
П о с в я щ а е т с я 1 0 0 - л е т и ю Р о с т и с л а в а Е в г е н ь е в и ч а А л е к с е е в а
665
складывающиеся из суммы общего решения соответствующего линейного
однородного дифференциальногоуравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами и частного решения исходного линейного неоднородного
уравнения:
. Вот здесь и возникает вопрос: «Как же находится
ответ на такое задание?». Частное решение обладает непосредственной
взаимосвязью с видом заданного уравнения.
Вид функции
Частное решение
Многочлен
n
-ой
степени
f(x)
=
P
n
(x)
(коэффициенты,
определяющие
многочлен
Q
n
(x),
находятся методом неопределенных
коэффициентов из равенства
).
Произведение
многочлена степени
n
иэкспоненты
(коэффициенты
многочлена
Q
n
(x)
определяются из равенства
).
,
где
А
1
и
В
1
– числа
где
А
и
В
–
неопределенные коэффициенты,
r
– число комплексно
сопряженных пар корней характеристического
уравнения
равных
(коэффициенты
многочлена
А
и
В
находятся из равенства
).
,
где
r
–
число комплексно сопряженных пар корней
характеристического
уравнения,
равных
,
P
n
(x), Q
k
(x), L
m
(x
) и
N
m
(x)
-
многочлены
степени
n
,
k
,
m
и
m
соответственно,
m
=
max
(n,
k).
(коэффициенты
многочленов
L
m
(x)
и
N
m
(x)
находятся из равенства
).
Другой
вид
функции
f(x)
находится общее
, где и
-
линейно независимые частные решения ЛОДУ,
а и – произвольные постоянные;
производные функций
и
определяются
из системы уравнений
,
а
сами
функции
и
находятся при последующем
интегрировании
Задание.
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
