М а т е р и а л ы X В с е р о с с и й с к о й н а у ч н о - п р а к т и ч е с к о й к о н ф е р е н ц и и
П о с в я щ а е т с я 1 0 0 - л е т и ю Р о с т и с л а в а Е в г е н ь е в и ч а А л е к с е е в а
659
взаимосвязаны, и любому из них свойственен повторяющий характер. Часто
для исследования экономических систем, где независимой переменной является
время t, применяются дифференциальные уравнения.
При помощи данных уравнений в этой области науки можно описать
множество процессов макроэкономической динамики. Например, уравнения
помогут описать модель прироста населения, процесс получения прибыли,
динамику роста цен, будут полезны для нахождения точки рыночного
равновесия, объема производства некоторого производителя и т.д.
Для того, чтобы наглядно показать это, я предлагаю рассмотреть
несколько примеров, которые можно решить при помощи дифференциального
исчисления.
Задача 1. Об эффективности рекламы
Пусть некоторой компанией выпускаетсяопределенная продукция, о
которой в нулевой момент времени из СМИ получили информацию человек
из общего числа А покупателей/жителей, которые заинтересованы в данной
покупке. После эта информация передаетсяс помощью общения людей в
социальных сетях, и в момент времени, отличный от нуля, количество людей,
которые уже знают о продукции обозначаем за x(t). Можно сделать
предположение, что скорость роста числа знающих о продукции
пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так
и к числу неосведомленных покупателей. Это приводит к уравнению (1):
. (1)
Здесь
k
- коэффициент пропорциональности, обязательное условие k>0.Из
уравнения получаем равенство (2) двух функций аргумента
t
:
(2)
Интегрируя обе части уравнения, общее решение (3) дифференциального
уравнения примет вид:
(3)
Получившиеся общее решение содержит неопределенную константу,
которую обозначили за
С
. Можно предположить, что
, получим равенство (4):
(4)
из которого сможем определить функцию
x
(
t
) (5):
. (5)
Здесь
Функция данного вида называется
логистической
, а её
график -
логистической кривой
.
Если применить условия, что
х
(0) = и положить
, где > 0, то
следовательно можно найти значение другой константы
Е
. Логистичеcкая
