227
Геометрическая интерпретация одного шага метода Эйлера
заключается в аппроксимации решения на отрезке [
x
i
,
x
i+1
] касательной
i
i
i
i
x
x x
y
y
y
1
, проведенной в точке
n n
yx
,
к интегральной кривой,
проходящей через эту точку (рис. 8.1).
Таким образом, после выполнения
n
шагов неизвестная интегральная
кривая заменяется ломаной линией (ломаной Эйлера).
Разобьем отрезок [
a
;
b
] на
n
равных частей (заметим, что
a=x
0
). Тогда
j
-я точка отрезка находится по формуле
x
j+
1
=x
j
+h
, где
h=
(
b-a
)/
n
,
j
номер
шага.
Получаем последовательность точек
y
j
искомого решения для
решения системы из
n
уравнений:
nj
j
i
i
i
ij
ij
y y yxfh y y
,...,
, ,
2 1
1
, где
n
i
,1
,
i
y
зависимая функция.
Методы
Эйлера
легко
распространяется
на
системы
дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения
высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к
системе дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим
метод Эйлера и его модификации для случая дифференциального
уравнения второго порядка, которое приводится к системе двух
дифференциальных уравнений первого порядка. Для решения системы из
двух уравнений расчетные формулы удобно записать без двойных
индексов в следующем виде:
Метод Эйлера (первая модификация)
Первая модификация метода Эйлера в общем виде вычисляется по
двум формулам:
i
i
i
i
i
zyxf
h
z
z
, ,
2
2
1
2
1
2
1
2
1
,
,
i
i
i
i
i
z y x hf
z z
,
из которых
первая формула
предсказывает поведение функции, а вторая
корректирует. При этом:
h x x
i
i
1
,
2
2
1
h
x
x
i
i
.
Геометрическая интерпретация представлена на рис. 8.2. Касательная
к кривой
Y
(
x
)
в точке
(
х
0
,
у
0
)
проводится с угловым коэффициентом
0 0
0
,
y xf
y
. С помощью метода Эйлера найдено значение
1
~
y
, которое
используется затем для определения наклона касательной
1 1
~
,
y
xf
в точке
(
х
1
,
у
1
). Отрезок с таким наклоном заменяет первоначальный отрезок
касательной от точки
(
x
1
-
x
0
)/2
до точки
х
1
. В результате получается
уточненное значение искомой функции
у
1
в этой точке.
