232
y
dt
dy
x
3
(8.1)
Дифференцируем по
t
обе части полученного уравнения:
dt
dy
dt
yd
dt
dx
3
2
.
Подставим
y
dt
dy
x
3
и
dt
dy
dt
yd
dt
dx
3
2
в первое уравнение системы:
y y
dt
dy
dt
dy
dt
yd
4 3
2
3
2
2
. Упростим:
0
2
2
2
y
dt
dy
dt
y
d
.
Получили
с
постоянными коэффициентами:
0
2'
'
'
y
y y
.
Составим и решим характеристическое уравнение:
.
981
D
;
3
D
.
.
1
1
,
2
1
– получены различные действительные корни, поэтому
t
t
eC e
C t
y
2
2
1
.
Продифференцируем найденную функцию по
t
:
t
t
t
t
t
eC eC
e
C e
C
t
y
2
2
1
2
2
1
2
'
.
Подставим
t
t
eC eC ty
2
2
1
и
t
t
eC
eC
t
y
2
2
1
2
'
в уравнение (8.1):
,
4
3
3
2
3
2
3
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
eC eC eC eC eC eC
eC
eC eC eC y
dt
dy
tx
или короче
t
t
e
C e
C
tx
2
2
1
4
.
Общее решение системы:
t
t
t
t
eC e
C
ty
eC e
C tx
2
2
1
2
2
1
4
, где
С
1
и
С
2
– const.
Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям
x
(0)=3,
y
(0)=0
.
Частное решение:
.
,
4
2
2
t
t
t
t
e e ty
e
e tx
Проверка начальных условий:
x
(0)=4-1=3,
y
(0)=1-1=0
.
Оба начальных условия выполняются.
Проверим, удовлетворяет ли найденный ответ первому уравнению
системы
y x
dt
dx
4 2
. Найдем производную функции
t
t
e e t
x
2
4 )
(
:
