225
n
y
y
y
Y
...
2
1
,
'
...
'
'
'
2
1
n
y
y
y
dx
dY
Y
,
x a
x a x a
x a
x a x a
x a
x a x a
xA
nn
n
n
n
n
,,,
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
,
xb
xb
x
b
x
b
n
...
2
1
.
Тогда линейная система дифференциальных уравнений в векторной
(матричной) форме записывается в виде
Y'
=
A
(
x
)
Y
+
b
(
x
) или, что то же
самое, в виде
xb
Y
xA
dx
dY
.
Матрица
A
называется
матрицей системы
(матрицей левых частей),
а вектор–функция
b
(
x
)
неоднородностью системы.
Система
Y'
=
A
(
x
)
Y
+
b
(
x
) называется
неоднородной
линейной системой
дифференциальных уравнений, а система
Y'
=
A
(
x
)
Y
однородной
линейной
системой.
8.2. Линейные однородные системы
дифференциальных уравнений
Простейшая однородная система дифференциальных уравнений
имеет следующий вид:
где
k, l, m, n
– числовые коэффициенты. В частности, они могут быть
нулевыми, а
x
(
t
) и
y
(
t
) – это неизвестные функции. В качестве
независимой переменной выступает переменная
t
.
и
первые
производные неизвестных функций
x
(
t
) и
y
(
t
) соответственно.
Решить систему дифференциальных уравнений, значит найти такие
функции
x
(
t
) и
y
(
t
), которые удовлетворяют и первому, и второму
уравнению системы.
Найденный ответ записывают в виде общего решения системы
дифференциальных уравнений
.
,
ty
tx
Для системы ДУ можно решить задачу Коши, то есть, найти частное
решение системы, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Систему можно переписать в виде
.
,
ny mx
y
ly kx x
t
t
