174
случайное число из интервала интегрирования. Вследствие случайности
узла
i
x
погрешность вычисления также будет носить случайный характер.
Проведя
n
вычислений со случайными узлами
i
x
, усредним результат,
который и принимаем за приближенное значение интеграла
b
a
n
i
i
xf
n
ab
dxxf
1
) (
)(
.
Расчет методом Монте-Карло с заданной точностью
Отличие данного метода заключается в том, что мы увеличиваем
количество случайных узлов
n
(например, в 10 раз), пока не достигнем
определенной точности результата (разность между предыдущим и
текущим результатом вычисления).
6.10. Квадратуры Гаусса
Рассмотрим функцию
)
(
tf
y
, заданную на промежутке
1,1
.
Поставим задачу: как нужно подобрать точки
n
t
t t t
,...,
, ,
3 2 1
и коэффициенты
n
A AAA
,...,
, ,
3 2 1
, чтобы квадратурная формула
,)(
)(
1
1
1
n
i
i
i
tfA
dt t
f
(6.7)
была точной для всех полиномов
)
(
t
f
наивысшей возможной степени
N
.
Так как в нашем распоряжении имеется
n
2
постоянных
i
x
и
i
A
) ,...,
3,2
,1
(
n
i
, а полином степени
1
2
n
определяется
n
2
коэффициентами,
то эта наивысшая степень в общем случае равна
1 2
n N
.
Для обеспечения равенства (6.7) необходимо и достаточно, чтобы оно
было верным при
.
,...,
,,1 )
(
1 2
2
n
t
t
t
x
f
Действительно, полагая
n
i
k
i i
k
tA
dt
t
1
1
1
1
2 ,..., 2,1,0
n
k
и
,
)
(
1 2
0
n
k
k
k
tC tf
будем иметь
). (
)(
1
1 2
0
1
1 2
0
1
1 2
0
1
1
1
1
i
n
i
i
n
k
k
ik
n
i
i
n
k
n
i
k
i i
k
n
k
k
k
tfA tC A tA C dt
t C dt tf
(6.8)
Таким образом, учитывая соотношения
