171
. )
)(
)(
)(ε('''
6
1
)
)(
)(
)(ε('''
6
1
)
()
)(
)(ε('''
6
1
)) ( )(
(
)(
)(
)(
2
2
1
0
2
1
0
2
2
1
0
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
dx x x x x x x
f
dx x x x x x x
f
dx x x x x x x
f
dx x
xf
dxx
dxxf
hR
h x
h x
h x
x
h x
x
h x
x
h x
x
h x
x
К каждому из этих двух интегралов уже можно применить теорему о
среднем, поскольку
'
'
'
f
непрерывна на
]2
,
[
0 0
h xx
и функция
)
)(
)(
(
2
1
0
x x x x x x
неотрицательна на первом интервале интегрирования и
неположительна на втором (то есть не меняет знака на каждом из этих
интервалов). Поэтому
)η η)(η(''''
24
))η('''
)η(''' (
24
2
)
(
4
)
(
)η('''
6
1
2
)
(
4
)
(
)η('
''
6
1
)
)(
)(
()η('''
6
1
)
)(
)(
()η(
'''
6
1
)(
2
1
4
2
1
4
2
1
2
4
1
2
2
1
2
4
1
1
2
1
0
2
2
1
0
1
2
1
2
1
1
0
1
0
2
1
1
0
f
h
f
f
h
x
xh
x x
f
x xh
x
x
f
dx x x x x x x
f
dx x x x x x x
f
hR
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(мы воспользовались теоремой о среднем, поскольку
'''
f
- непрерывная
функция;
2
1
ηη η
).
Дифференцируя
)
(
h
R
дважды и применяя затем теорему о среднем,
получим для
)
(
h
R
другое выражение:
90
)η(''''
)(
5
fh
h
R
, где
]. 2 , [ η
0 0
h xx
Из обеих оценок для
)
(
h
R
следует, что формула Симпсона является
точной для многочленов степени не выше третьей. Запишем формулу
Симпсона, например, в виде
)η(''''
90
)) (
2
4 )( (
6
)
(
)
(
5
f
h
bf
ba
f
af
ab
dxxf
b
a
,
2
ab
h
.
Если отрезок
]
,
[
b
a
интегрирования слишком велик, то его разбивают
на
n
2
равных частей (полагая
n
ab
h
2
), после чего к каждой паре соседних
отрезков
h
a
a
2 ,
,
h a
h a
4 ,
2
,...,
b
h b
,
2
применяют формулу Симпсона,
а именно: запишем формулу Симпсона в общем виде
)]
...
(2 )
...
(4
[
3
)
(
2 2
4
2
1 2
3
1
2
0
n
n
n
b
a
y
y
y
y
y y
y y
h
dx
xf
(6.4)
n
a
b
h
2
.
(6.5)
Погрешность формулы Симпсона
