164
касательной контура. Отсюда он получил «принцип Кавальери»,
позволяющий доказывать равенство площадей тех или иных фигур,
равенство объемов различных тел.
Ряд новых результатов в вычислении
площадей и объемов был получен П. Ферма,
который распространил известные ранее методы
вычисления площадей параболических сегментов
на случай алгебраических кривых с дробными и
отрицательными показателями. П. Ферма и
Б. Паскаль применяли, по сути, преобразования
интегралов. Некоторые теоремы Паскаля об
объемах являются геометрическим эквивалентом
замены переменных и интегрирования по частям.
Полностью арифметизирован предельный
переход был английским
математиком Дж. Валлисом.
Валлис широко пользовался неполной индукцией.
Взаимно обратный характер задач о вычислении
площади криволинейной трапеции и о проведении
касательной был открыт в 1664 г. английским
математиком И. Барроу, учителем и другом
И. Ньютона. Впрочем, связь этих задач была по
существу ясна уже Э. Торричелли и Дж. Грегори.
Исследование
связи
между
операциями
дифференцирования и интегрирования, свободное от
геометрической
интерпретации,
было
дано
И. Ньютоном и Г. В. Лейбницем. Современное
обозначение интеграла принадлежит Лейбницу,
который рассматривал интеграл как «сумму всех
ординат».
Сам
знак
интеграла
является
стилизованной латинской буквой
S
(первой буквой
слова summa). Название «интеграл» принадлежит
ученику Лейбница Я. Бернулли.
Ньютон и его ученики (Р. Котес и др.)
рассматривали интегрирование иррациональных
функций. Систематическое исследование интегрирования элементарных
функций было завершено Эйлером в его книге «Интегральное
исчисление». Вскоре выяснилось, что далеко не все интегралы от
элементарных функций выражаются через элементарные функции.
Великий русский математик П. Л. Чебышев полностью исследовал
этот вопрос для некоторых классов иррациональных функций (так
Пьер Ферма
(1601 – 1665)
И. Барроу
(1630 – 1677)
Г. В. Лейбниц
(1646 - 1716)
