166
6.1. Семейство квадратурных формул Ньютона
Котеса
Квадратурные формулы Ньютона
Котеса используются для
вычисления определенного интеграла при помощи нескольких значений
интегрируемой функции.
Квадратурной формулой называется формула вида
b
a
n
j
j
j
xfA
dx
x
f
0
)
(
)
(
,
(6.1)
где
n
j
j
j
xfA
0
) (
- квадратурная сумма;
j
A
- квадратурные коэффициенты,
j
x
-
узлы квадратурной формулы.
Остаточным членом квадратурной формулы называется величина
b
a
n
j
j
j
n
xfA dxxf
R
0
) (
)
(
.
Существуют разные подходы к построению квадратурных формул.
Рассмотрим построение формул Ньютона-Котеса. Пусть заданы значения
интегрируемой функции
f
(
x
) в точках
n
x xx
x
...
, ,
2 1 0
, принадлежащих отрезку
ba
,
. Для
f
(
x
)
строим интерполяционный многочлен Лагранжа
n
-й
степени:
n
j
n
j
j
j
j
n
j
n
x x x x x x x x
x x
x x x x
xf
xL
0
1
0
1
0
)
)...(
)(
()
(
)
)...(
)(
(
) (
)
(
.
Тогда формула (6.1) примет вид:
b
a
b
a
n
j
j
j
n
xfA dx
x
L dxxf
0
) (
)
(
)
(
,
(6.2)
где
b
a
n
j
j
j
j
n
j
dx
x x x x x
x x x
x x x x x
x
A
)
)...(
)(
()
(
)
)...(
)(
(
1
0
1
0
.
Формула (6.2) называется
интерполяционной квадратурной
формулой
.
Если узлы квадратурной формулы (6.2) равноотстоят друг от друга на
величину
h
, то, делая замену переменных
th
x x
0
и обозначая
h x x
i
i
1
, где
1 ,0
n
i
, получаем новое выражение для квадратурных
коэффициентов:
n j n
j
dt
j t
n t
t
tt
j nj
h
A
0
)
(
)
)...( 2 )(1 (
)!
(!
)1(
.
