172
4
5
)
2
( 180
)η('''
'
)
(
n
f ab
R
n
,
]
,
[ η
b
a
(6.6)
6.7. Правило Рунге оценки погрешности
Идея метода состоит в том, чтобы, организовав вычисления значений
интеграла по нескольким семействам (множествам) узлов, затем сравнить
результаты вычислений и получить оценку погрешности. Наиболее
удобное правило связано с вычислением интеграла дважды:
]
[ ],
[
2
f L
f
L
n
n
,
где
]
[
f
L
n
– приближенное значение
b
a
dx
xf
)
(
при разбиении отрезка
интегрирования на
n
частей.
Правило Рунге оценки погрешности
1 2
] [
]
[
] [
2
2
p
n
n
n
f L f L
f R
,
где
p
– порядок погрешности квадратурной формулы.
Для метода левых прямоугольников
1
p
, правых прямоугольников
1
p
, средних прямоугольников
2
p
, трапеций
2
p
, Симпсона
4
p
.
После подсчета величин
]
[
f
L
n
и
] [
2
f
L
n
, кроме оценки погрешности по
правилу Рунге можно также дополнительно уточнить приближенное
значение интеграла. Величина
1 2
]
[
] [
]
[
2
*
2
p
n
n
n
f L f L
f L
называется
уточненным (или экстраполированным) по Ричардсону
значением искомого интеграла.
Для практического вычисления интеграла
] [
f
L
с заданной точностью
выбирается некоторое начальное число
n
разбиений отрезка
b
a
,
и
вычисляются величины
]
[
f L
n
и
] [
2
f
L
n
. Если
ε ] [
2
f R
n
, то с точностью
полагают
]
[
]
[
2
f
L f
L
n
n
. В противном случае вычисляют значение
]
[
4
f
L
n
и
сравнивают
] [
4
f R
n
и
, и т.д.
6.8. Вычисление интеграла с заданной точностью
с помощью остаточного члена
Для приведенных методов можно оценить погрешность с помощью
остаточного члена квадратурной формулы.
Чтобы найти количество отрезков разбиения
п
, требующееся для
вычисления интеграла с заданной точностью
, нужно решить уравнение
