80
ство соприкасающихся плоскостей. Поэтому если кривизна
ж
в данной точке
не равна нулю, то существует одна единственная соприкасающаяся плоскость.
Чтобы характеризовать степень отклонения пространственной кривой от пло-
ской кривой, вводится параметр кручения
τ
, определяемый формулой
/
τ
d ds=
b
m
−
, (3.27)
где вектор
b
называется бинормалью и определяется формулой
,
b t m
=
. (3.28)
Величина
τ
показывает, как быстро вращается соприкасающаяся плос-
кость вокруг касательной (вектора
t
) по мере движения вдоль кривой
L
.
Правую тройку единичных попарно ортогональных векторов
t
,
m
,
b
на-
зывают трхвекторником Френе. В каждой точке кривой
L
векторы
/
d ds
t
,
/
d ds
m
,
/
d ds
b
можно разложить по элементам трёхвекторника Френе. Полу-
ченные при этом разложения называются формулами Френе:
•
первая формула Френе - это (3.26);
•
третья формула Френе – это (3.27).
Вторую формулу Френе получим, дифференцируя выражение
,
m b t
=
,
которое можно получить путем циклической перестановки переменных в равен-
стве (3.28).
τ
ж
ж τ
d ds d ds,
d ds
m /
b / t
b, t /
m, t
b,m t b
=
+
=−
+
− +
=
ж τ
d ds
m /
t b
=− +
. (3.29)
В этом случае вектор-функция
( )
s
R
должна быть три раза непрерывно
дифференцируемой.
3.6. Нормальная кривизна и сечение.
Теорема Менье
Пусть
L
- регулярная кривая на регулярной поверхности
S
, а
( )
u,v
r r
=
-
её регулярная параметризация. Длину
s
переменной дуги
L
с одним фиксиро-
ванным концом возьмём в качестве естественного параметра во внутренних
уравнениях
L
:
u
=
u
(
s
),
v
=
v
(
s
), 0 ≤
s
≤
s
(
L
). (3.30)
Пусть (
du
:
dv
) - направление кривой
L
на её произвольной точке
X
(
u
,
v
),
а
( )
( ) ( )
(
)
,
s
u s v s
R r
=
- естественная параметризация кривой
L
. Введём обо-
значения:
t
– единичный касательный вектор к
L
в точке
X
(см. рис. 25,
б
);
m
– главная нормаль к
L
в точке
X
;
æ – кривизна кривой
L
в точке
X
;
n
– нормаль поверхности
S
в точке
X
;
ψ
- угол между векторами
n
и
m
(см. рис. 25,
б
);
( )
s
R
– по крайней мере, дважды непрерывно дифференцируемая функция
во всём интервале значений
s
.
