89
Но в соответствии с теоремой Родрига (3.64),
[
]
[
]
[
]
1 2
,
,
,
u v
u v
u v
k k
K
n n
r r
r r
=
=
.
Следовательно,
( )
[
]
( )
[
]
( ) ( )
ω
,
,
σ
u v
u v
U
U
U K dudv K X
dudv K X U
r r
r r
′
′
=
=
=
∫∫
∫∫
, (3.72)
где
X
΄ - некоторая точка в окрестности
U
точки
X
. Если диаметр
d
окрестно-
сти
U
стремится к нулю, то точка
X
΄ стремится к точке
X
. Так как гауссовая
кривизна
K
(
X
) непрерывная функция точки
X
, то
K
(
X
΄) будет стремиться к
K
(
X
). Тогда из (3.72) следует (3.70), и теорема доказана.
Если точка
X
(
u
,
v
) регулярной поверхности
S
является омбилической
точкой, то есть все направления в это точке главные, то соприкасающаяся к по-
верхности в этой точке парабола является параболой вращения. Покажем, что в
этом случае в достаточно малой окрестности точки
X
(
u
,
v
) поверхность
S
можно представить с помощью соприкасающейся сферы соответствующеого
радиуса
R
и что это представление равносильно представлению соприкасаю-
щейся параболой вращения.
Действительно, если совместить начало координат с точкой
X
(
u
,
v
), а ось
z
направить по нормали
n
к касательной плоскости в точке
X
(
u
,
v
), то выпол-
няются условия (3.37) и
z
координату точек сферы радиуса
R
в достаточно
малой окрестности начала координат (
R
2
>>
x
2
+
y
2
) можно представить (см. рис.
25,
б
) в виде
z
(
x
,
y
) =
R
(1 - cos
α) =
R
(1 – (1 –sin
2
α)
1/2
) =
R
(1 – (1 –(
x
2
+
y
2
)/
R
2
)
1/2
).
(3.73)
Введём обозначение (
x
2
+
y
2
)/
R
2
= ξ
<< 1 и воспользуемся формулой би-
нома:
z
(
x
,
y
) =
R
(
ξ
/2 +
ξ
2
/8 +
ε
(0)
ξ
2
)
,
где
ε
(0)→0 , когда
ξ
→0. В первом приближении получаем
z
(
x
,
y
) = (1/
R
)(
x
2
+
y
2
)/
2 =
k
(
x
2
+
y
2
)/
2, (3.74)
что совпадает с выражением (3.40) при
k
1
=
k
2
=
k
= 1/
R
.
