83
Если
k
1
> 0, то главная нормаль к параболе (3.41) совпадает с нормалью
соприкасающегося параболоида; если
k
1
< 0, то угол между этими нормалями
равен
π
. Следовательно, число
k
1
будет главной нормальной кривизной в глав-
ном направлении соприкасающегося параболоида, отвечающего направлению
оси
x
. Это значит, что
k
1
будет главной нормальной кривизной поверхности
S
в
точке
X
в направлении оси
x
. Соответственно
k
2
является нормальной кривиз-
ной поверхности
S
в точке
X
в направлении оси
y
.
Величина
H
= (
k
1
+
k
2
)/2 называется средней кривизной поверхности
S
в
точке
X
. Величина
K
=
k
1
k
2
называется гауссовой кривизной поверхности
S
в
точке
X
.
Эти кривизны есть функции точки поверхности
S
.
3.9. Особые точки поверхности
Точки поверхности, в которых гауссова кривизна положительна
K
> 0 (
k
1
и
k
2
одинакового знака) (см. рис. 25,
б
), называются эллиптическими точками
поверхности. Достаточно малая окрестность таких точек поверхности лежит по
одну сторону от касательной плоскости в этой точке и с касательной плоско-
стью других общих точек не имеет.
Рис. 26
•
Точки поверхности, в которых гауссова кривизна отрицательна
K
< 0 (
k
1
и
k
2
разного знака) называются гиперболическими точками поверхности
(рис. 26,
а
). Достаточно малая окрестность таких точек поверхности ле-
жит по обе стороны от касательной плоскости в этой точке, поскольку,
соприкасающийся параболоид в этом случае является гиперболическим и
с касательной плоскостью персекается по паре прямых, угол между кото-
рыми отличен от нуля. Малая окрестность таких точек имеет вид седла.
•
Точки поверхности, в которых гауссова кривизна нулевая
K
= 0 называ-
ются параболическими точками поверхности (рис. 26,
б
)
.
Малая окрест-
ность таких точек имеет вид куска параболического цилиндра, если
k
1
или
k
2
равен нулю.
S
S
α
P
X
α
P
X
а
б
