71
Чтобы найти составляющие
u
x
,
u
y
,
u
z
вектора деформации
u
из (2.80),
необходимо найти
f
x
,
f
y
,
f
z
, ∂
ϕ
/∂
x
, ∂
ϕ
/∂
y
, ∂
ϕ
/∂
z
.
Из равенства (2.86) для величины
ϕ
находим её производные:
( )
φ
Ψ
1 σ
y
x
z
g g
z
f
x 4 - x x y
x
∂
∂
∂
∂
∂
=−
+ + +
∂
∂ ∂ ∂
∂
,
( )
φ
Ψ
1 σ
y
x
z
g g
z
f
y 4 - y x y
y
∂
∂
∂
∂
∂
=−
+ + +
∂
∂ ∂ ∂
∂
,
( )
( )
φ 1
Ψ
1 σ
1 σ
y
y
x
x
z
z
g
g
g
g
z
f
f
z 4 -
x y
4 - z x y
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=−
+ + −
+ + +
∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂
,
которые на плоскости
z
= 0 принимают вид
∂
ϕ
/∂
x
|
z
=0
= + ∂
ψ
/∂
x
,
∂
ϕ
/∂
y
|
z
=0
= + ∂
ψ
/∂
y
,
∂
ϕ
/∂
z
|
z
=0
= - (∂
g
x
/∂
x
+∂
g
y
/∂
y
+
f
z
)/(4(1-
σ))
+ ∂
ψ
/∂
z
,
Величины
f
x
и
f
y
уже определены равенствами (2.106) и (2.107).
Для определения
f
z
из (2.105) необходимо найти ∂
g
x
/∂
x
, ∂
g
y
/∂
y
, ∂
ψ
/∂
z
.
Для нахождения ∂
g
x
/∂
x
, ∂
g
y
/∂
y
сначала дифференцируем (2.106) и
(2.107) по
х
и по
y
соответственно:
(
)
2
3
1 σ
π
x
x
g
F x
x z
E r
+
∂ =−
∂ ∂
,
(
)
2
3
1 σ
π
y
y
g
F y
y z
E r
∂
+
=−
∂ ∂
.
Затем, интегрируя по
z
, в пределах от ∞ до
z
, получаем
(
)
( )
1 σ
π
x
x
g
F x
x
E r r+z
+ ∂ =
∂
, (2.108)
(
)
( )
1 σ
π
y
y
g
F y
y
E r r+z
∂
+
=
∂
, (2.109)
(
)
(
)
( )
1 σ
π
x
y
y
x
F x+F y
g g
x y
E r r+z
∂
+
∂ + =
∂ ∂
.
Подставляя (2.108) и (2.109) в (2.105) и (2.100), получаем систему из двух
линейных уравнений относительно неизвестных
f
z
и ∂
ψ
/∂
z
:
(
)
(
)
( )
(
)
1 σ
1 σ
Ψ2
π
π
x
y
z
z
F x+F y
F
f
z
E r r+z
E r
+
+
∂+ =
+
∂
, (2.110)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
1 2σ
1 σ
Ψ2
2 1 σ
2π 1 σ
x
y
z
F x+F y
f
z
E
r r+z
−
+
∂+ =
− ∂
−
. (2.111)
Из (2.110) вычитая (2.111), получаем
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
( )
(
)
1 σ 1 2σ
1 σ
1 σ 2 1 σ π
π
x
y
z
z
F x+F y
f
F
2
E r r+z
E r
+ −
+
=
+
−
−
,
или окончательно для
f
z
