78
Коэффициенты первой квадратичной формы с учётом (3.9) будут
(
)
2
2
2
2
1 ,
,
,
1
x
x
x y
x y
y
y
E= z F= z z G= z
r
r r
r
= +
=
= +
.
Первая квадратичная форма, согласно (3.10), будет
I = (1 +
z
x
2
)
dx
2
+ 2
z
x
z
y
dxdy
+ (1 +
z
y
2
)
dy
2
.
Используя выражения для
x
r
и
y
r
, найдём уравнение касательной
плоскости к поверхности
S
в точке
X
(
x
,
y
) и единичный вектор нормали
n
к
касательной плоскости в той же точке
X
(
x
,
y
) поверхности
S
.
z
–
z
(
x
,
y
) =
z
x
(
x
,
y
)(
X
–
x
) +
z
y
(
x
,
y
)(
Y
–
y
),
2 2
2 2
2 2
,
1
1
1
1
,
x y
x
x
x
y
x
y
x
y
x y
z
z
z z
z z
z z
r r
n
i
j
k
r r
=
=−
−
+
+ +
+ +
+ +
.
3.4. Вторая квадратичная форма поверхности
Если
( )
u,v
r r
=
- регулярная параметризация регулярной поверхности
S
и
( )
[
]
[
]
,
,
u v
u v
u,v
r r
n
r r
=
-единичный вектор нормали поверхности в точке
X
(
u
,
v
), то второй квадратич-
ной формой поверхности называется форма
II = (-d
r
, d
n
) = (-
r
u
,
n
u
)du
2
+ ((-
r
u
,
n
v
) + (-
r
v
,
n
u
))dudv + (-
r
v
,
n
v
)dv
2
. (3.19)
Рис. 25
Для коэффициентов этой формы приняты обозначения
z
z
O
1
α
S
:
z
=
z
(
x
,
y
)
S
:
z
=
z
(
x
,
y
)
R
R
Сф Сф
Пар Пар
Z
0
Z
0
O
y
O
y
G
x
x
a
б
