81
( )
( ) ( )
/
d s ds
s
s
R R t
′ = =
.
Из первой формулы Френе следует, что
2
2
ж
d ds d ds=
R /
t /
m
=
. (3.31)
По определению скалярного произведения векторов
(
)
(
)
2
2
ж ж cosΨ жcosΨ
d ds
r / ,n m,n m n
=
=
=
. (3.32)
С другой стороны, учитывая выражение (3.6) для вектора
n
, получим
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
,
,
,
2 ,
u
v
uu
uv
u
uv
vv
v
uu
uv
d
d du dv
ds
ds ds ds
du
dv du d u du dv
dv
d v
ds
ds ds
ds
ds ds
ds
ds
du
d
ds
r n
r
r
n
r
r
r
r
r
r
n
r n
r n
=
+
=
=
+
+ +
+
+
=
=
+
(
)
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
,
2
.
2
vv
v du
dv
ds ds
ds
L du Mdudv+N dv
E du Fdudv+G dv
r n
+
=
+
=
+
(3.33)
Следовательно,
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
жcosΨ
2
L du Mdudv+N dv
E du Fdudv+G dv
+
=
+
. (3.34)
Величины
L
,
M
,
N
,
E
,
F
,
G
в точке
X
(
u
,
v
) поверхности
S
определены
однозначно, то есть являются константами. Записав равенство (3.34) в виде
æ∙cos
ψ
= (
L
(
du
/
dv
)
2
+ 2
M
(
du
/
dv
) +
N
)/(
E
(
du
/
dv
)
2
+ 2
F
(
du
/
dv
) +
G
), (3.35)
замечаем, что æ∙cos
ψ
зависит только от направления (
du
:
dv
) кривой
L
в точ-
ке
X
(
u
,
v)
, то есть является константой.
æ∙cos
ψ
= æ
0
= const. (3.36)
Таким образом, для всех кривых, проходящих через точку
X
(
u
,
v
) регуляр-
ной поверхности
S
и имеющих в ней одно и то же направление (
du
:
dv
)
(
одну и
ту же касательную
),
имеет место равенство (3.36), которое составляет содержа-
ние теоремы Менье.
Величина æ
0
называется нормальной кривизной поверхности в данном
направлении (
du
:
dv
) в точке
X
. Это обусловлено тем, что когда направления
главной нормали
m
к кривой
L
и нормали
n
касательной плоскости поверхно-
сти
S
в точке
X
совпадают (
ψ
= 0, π), то æ∙= ± æ
0
. Кривая
L
в этом случае являет-
ся нормальным сечением поверхности
S
в точке
X
. Соприкасающаяся в точке
X
кривой
L
плоскость в этом случае перпендикулярна поверхности
S
в точке
X
.
3.7. Нормальные сечения и
соприкасающийся параболоид
На заданной произвольной точке
X
заданной регулярной поверхности
S
построим систему декартовых координат
x
,
y
,
z
, совместив её начало с точкой
X
, а ось
z
- с нормалью
n
к касательной плоскости в точке
X
поверхности
S
.
