70
(
)
2
2 0
2 1 σ
x
x
z=
g
P
z
E
+
∂
=−
∂
,
(
)
2
2 0
2 1 σ
y
y
z=
g
P
z
E
∂
+
=−
∂
. (2.101)
В пользу обоснованности такого выбора служит отсутствие противоречий
в полученных на его основе результатах.
Значения всех величин в уравнениях (2.97) ÷ (2.100) определяются при
z
= 0. Компоненты внешних сил
P
x
,
P
y
,
P
z
, приложенных к поверхности, счи-
таются заданными функциями координат
x
,
y
, обращающимися в нуль на бес-
конечности.
2.12. Деформация полупространства
сосредоточенной силой
F
Сила
F
приложена к очень малому участку, который можно считать то-
чечным. Такую силу можно описать с помощью
δ
-функции Дирака. Действую-
щие поверхностные силы в этом случае распределены по закону
( ) ( )
δ δ
x y
=
P F
.
Очевидно, начало координат выбрано в точке приложения силы.
Если найдено решение этой задачи, то с его помощью можно построить
решение задачи для любого распределения сил
( )
x, y
P
. Действительно, пред-
положим
u
i
= G
ik
(x, y, z) F
k
(2.102)
есть составляющие вектора деформации
u
под действием сосредоточенной си-
лы
F
, приложенной в начале координат. Функция
G
ik
(
x
,
y
,
z
) является тензором
Грина для уравнений равновесия среды, заполняющей полупространство.
Составляющие
u
i
вектора деформации
u
под действием любых сил
( )
x, y
P
будут выражаться интегралом
u
i
= ∫∫
G
ik
(
x
-
x
΄,
y
-
y
΄,
z
)
P
k
(
x
΄,
y
΄)
dx
΄
dy
΄. (2.103)
Если некоторая гармоническая функция
f
(
x
,
y
,
z
) на бесконечности обра-
щается в нуль и на плоскости
z
= 0 обладает заданной, нормальной к плоскости
производной ∂
f
/∂
z
, то такую функцию можно представить с помощью интегра-
ла:
f
(
x
,
y
,
z
) = - (1/(2
π
)) ∫∫(∂
f
(
x
΄,
y
΄,
z
)/∂
z
)|
z
=0
(
dx
΄
dy
΄)/
r
, (2.104)
где
r
= ((
x
-
x
΄)
2
+ (
y
-
y
΄)
2
+
z
2
)
1/2
.
Применив формулу (2.104) к величинам (
f
z
- (∂
g
x
/∂
x
+∂
g
y
/∂
y
) + 2∂
ψ
/∂
z
) в
(2.99), и ∂
g
x
/∂
z
, ∂
g
y
/∂
z
в (2.101) получим
(
)
Ψ 1 σ
1 σ
2
π
π
y
z
x
z
z
g
P x ,y
g
F
f
dx dy
x y
z E r
E r
′ ′
∂
∂
∂ +
+ ′ ′
− + + =
=
∂ ∂
∂
∫∫
(2.105)
(
)
1 σ
π
x
x
g
F
z
E r
+ ∂ =
∂
, (2.106)
(
)
1 σ
π
y
y
g
F
z
E r
∂
+
=
∂
, (2.107)
где после интегрирования
2 2 2
r= x y z
+ +
.
