73
ГЛАВА 3. ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
3.1. Простая поверхность и регулярная вектор-функция
Для лучшего понимания процессов соприкосновения твёрдых тел приве-
дём необходимые сведения из геометрии кривых и поверхностей.
Если точечное множество
M
отображается во множество
N
преобразова-
нием
ϕ
(
M
) =
N
, являющимся взаимно однозначным и взаимно непрерывным, то
такое отображение называется
топологическим
, или
гомеоморфизмом
.
В теории поверхностей вводится понятие
простой поверхности
Ф, яв-
ляющейся взаимно непрерывным и взаимно однозначным отображением
про-
стой плоской области
G
(как, например, открытый круг) в пространство.
Пусть
u,
v
- координаты произвольной точки области
G
, а
x
,
y
,
z
– координа-
ты соответствующей точки пространства. Три непрерывные функции координат
точки области
G
x
=
f
1
(
u
,
v
),
y
=
f
2
(
u
,
v
),
z
=
f
3
(
u
,
v
) (3.1)
являются параметрическим представлением поверхности Ф. То же самое мож-
но осуществить с помощью непрерывной вектор-функции
( )
u,v
r
.
( ) ( )
( )
( )
1
2
3
u,v f u,v f u,v f u,v
=
+
+
r
i
j
k
. (3.2)
Отображение
f
параметрической поверхности Ф в пространство назы-
вают
локально гомеоморфным,
или
локальным гомеоморфизмом
, если у
каждой точки
X
Є Ф есть окрестность, для которой отображение
f
является
гомеоморфным. Параметрическая поверхность Ф и её локальный гомеомор-
физм
f
в пространство
вместе взятых
являются параметрическим представле-
нием поверхности
S
. Вектор-функция
( )
u,v
r
называется
регулярной
, если в
G
функция
( )
u,v
r
k
раз непрерывно дифференцируема (
k
≥ 1) и всюду в
G
[
]
,
0
u v
≠
r r
, (3.3)
где
u
r
и
v
r
- производные вектор-функции
( )
u,v
r
по соответствующим коор-
динатам. В случае
k
= 1 вектор-функцию
( )
u,v
r
также называют
гладкой
.
Поверхность
регулярна
, если каждая её точка имеет окрестность, являю-
щуюся простой поверхностью, которая задана регулярной вектор-функцией.
Мы рассмотрим лишь регулярные поверхности. Такая поверхность
S
оп-
ределена в пространстве регулярной вектор-функцией
( )
u,v
r
, определённой в
некоторой простой области
G
:
a
<
u
<
b
,
c
<
v
<
d
при этом отображение,
осуществляемое вектор-функцией
( )
u,v
r
, есть гомоморфизм.
Выберем некоторый регулярный путь
l
в
G
, задаваемый параметриче-
скими уравнениями:
u
=
u
(
t
),
v
=
v
(
t
). (3.4)
Этому пути
l
на поверхности
S
соответствует путь
l′
, который в простран-
стве задаётся вектор-функцией
( )
( ) ( )
(
)
,
t
u t v t
=
R r
. Она в пространстве опреде-
ляет некоторую кривую
L
. Если
u
(
t
) и
v
(
t
)
k
раз (
k
≥ 1) непрерывно дифферен-
