72
(
)(
)
(
)
( )
(
)(
)
1 σ 1 2σ
2 1 σ 1 σ
π
π
x
y
z
z
F x+F y
F
f
E
r r+z
E r
+ −
− +
=
+
. (2.112)
Величину ∂
ψ
/∂
z
находим из (2.110) подстановкой значения
f
z
:
(
)
(
)
( )
(
)
1 σ
1 σ
Ψ
2π
2π
2
x
y
z
z
F x+F y
F f
z
E r r+z
E r
+
+
∂ =
+
−
∂
, (2.113)
Зная величину ∂
ψ
/∂
z
, интегрируем её по
z
с последующим дифференци-
рованием по
x
и
y
находим ∂
ψ
/∂
x
и ∂
ψ
/∂
y
соответственно.
Подставляя полученные величины в (2.80) находим компоненты
u
x
,
u
y
,
u
z
:
u
x
=
A
((
B
-
C
)
xF
z
+
DF
x
+
Gx
(
xF
x
+
yF
y
)),
u
y
=
A
((
B
-
C
)
yF
z
+
DF
y
+
Gy
(
xF
x
+
yF
y
)), (2.114)
u
z
=
A
((
Bz
+
H
)
F
z
+ (
B
+
C
)(
xF
x
+
yF
y
)),
где для краткости введены следующие обозначения:
A = (1 +
σ
)/(2
π
E
),
B
=
z
/
r
3
,
C
= (1 - 2
σ)
/(
r
(
r
+
z
)),
D
= (2(1-
σ)
r
+
z
)/(
r
(
r
+
z
)),
G
= (2
r
(
σ
r
+
z
) +
z
2
)/(
r
3
(
r
+
z
)
2
),
H
= 2(1-
σ)/
r
.
Смещение точек свободной поверхности
z
= 0 упругой среды представ-
ляет наибольший интерес. В этом случае обозначения принимают вид
A
= (1 +
σ
)/(2
π
E
), B = 0, C = (1 - 2
σ)
/
r
2
, D = 2(1-
σ)/
r
, G = 2
σ/
r
3
, H = 2(1-
σ)/
r
.
Если влияющая сила направлена по оси
z
(в (2.105)
F
z
≠ 0,
F
x
=
F
y
= 0), то
для смещения точек поверхности получаются следующие формулы:
(
)(
)
(
)
2
z
z
2
2
1 σ 2σ
1 σ 1 2σ
2π
2π
x
x
x
u
F
F
E r
E r
− −
+ −
=−
=−
(
)(
)
(
)
2
z 2
2
1 σ 2σ
1 σ 1 2σ
2π
2π
y
z
y
y
u
F
F
E r
E r
− −
+ −
=−
=−
(115)
(
)
2
z
1 σ 1
π
z
u
F
E r
−
=
,
где
2 2
r= x y
+
.
