75
стности точки (0, 0) на плоскости
x
,
y
также
k
раз непрерывно дифференци-
руема. В точке (0, 0) имеют место соотношения
f
(0, 0) =
f
x
(0, 0) =
f
y
(0, 0) = 0. (3.7)
Рис. 23
3.3. Первая квадратичная форма поверхности
Первой квадратичной формой регулярной поверхности
S
называется квад-
рат полного дифференциала вектор-функции
( )
u,v
r r
=
:
(
)
( )
(
)
( )
2
2
2
2
2
I
2
u v
v
=d
du+ dv
du
dudv+ dv
2
u
v
u
r r r
r
r , r
r
=
=
+
. (3.8)
Для коэффициентов первой квадратичной формы приняты обозначения
(
)
2
2
,
u
u v
v
E , F= , G=
r
r r
r
=
. (3.9)
Так что
I =
E du
2
+ 2
F du dv
+
G dv
2
. (3.10)
Первая квадратичная форма поверхности при всех значениях
du
и
dv
при-
нимает неотрицательные значения и обращается в нуль, только при du = dv = 0.
В этом легко убедиться, принимая во внимание непараллельность
u
r
и
v
r
(3.5)
при решении равенства
u
v
du+ dv=0
r r
.
Значение первой квадратичной формы зависит от выбора конкретной ре-
гулярной параметризации поверхности
S
. Пусть
L
- произвольная кривая на
S
и
( )
( )
,
,
u=u t v=v t a t b
≤ ≤
(3.11)
- её регулярная параметризация. Уравнения (3.11) называются внутренними
уравнениями кривой
L
.
Пусть
( )
( ) ( )
(
)
,
t
u t v t
=
R r
– вектор-функция, определяющая кривую
L
в
пространстве. Тогда длина кривой
s
(
L
) определяется формулой
v
d S
m m
u
X
v
0
l
c
v
l
0 a u
0
b u
a
б
