74
цируемые функции, то нетрудно доказать, что путь
l′
и кривая
L
регулярны,
причём функция
( )
t
R
k
раз непрерывно дифференцируема. Уравнения (3.4)
называют внутренними уравнениями пути
l′
на
S
и в то же время
регулярной
внутренней параметризацией
кривой
L
.
Кривые на
S
, определяемые путями в
G
l
:
u
=
t
,
v
=
v
0
= const,
m
:
u
=
u
0
= const,
v
=
t
,
называются координатными линиями. Эти линии образуют два семейства регу-
лярных кривых: -
l
v
(
v
= const) и
m
u
(
u
= const).
В произвольной точке
X
(
u
0
,
v
0
) поверхности
S
производные первого по-
рядка вектор-функции
( ) ( )
(
)
,
u t v t
r
по
u
и
v
соответственно;
(
)
0 0
,
u
u v
r
и
(
)
0 0
,
v
u v
r
суть касательные векторы к координатным линиям
l
v
и, m
u
в точ-
ке
X
(
u
0
,
v
0
). Так как
( ) ( )
(
)
,
u t v t
=
r r
- регулярная параметризация
S
, то согласно
(3.3),
(
) (
)
0 0
0 0
,
,
,
0
u
v
u v u v
≠
r
r
. (3.5)
Это значит, что в точке
X
(
u
0
,
v
0
) касательные векторы отличны от нуля и
не параллельны, то есть любые две координатные линии, взятые из разных се-
мейств, повсюду на поверхности пересекаются под углом, отличным от нуля и
π.
3.2. Контингенция поверхности
S
в точке
X
Контингенцией
поверхности
S
в точке
X
называется множество точек,
лежащих на касательных в точке
X
ко всем регулярным кривым, лежащим на
S
и проходящим через
X
.
Для регулярной поверхности
S
в каждой точке
X
(
u
0
,
v
0
) контингенция
есть плоскость, которая является касательной плоскостью к поверхности в точке
X
(
u
0
,
v
0
). Она проходит через векторы производных первого порядка
(
)
0 0
,
u
u v
r
и
(
)
0 0
,
v
u v
r
вектор-функции
( ) ( )
(
)
,
u t v t
=
r r
регулярной параметризации по-
верхности
S
. Положение касательной плоскости в пространстве удобно харак-
теризовать единичным вектором
n
, перпендикулярным к этой плоскости:
(
) (
)
(
) (
)
0 0
0 0
0 0
0 0
,
,
,
,
,
,
u
v
u
v
u v u v
u v u v
=
r
r
n
r
r
.
(3.6)
Совместим начало декартовых прямоугольных координат с точкой
X
(
u
0
,
v
0
) так, чтобы оси
x
и
y
лежали в касательной плоскости к
S
в точке
X
(
u
0
,
v
0
)
а ось
Z
направим по нормали
n
к поверхности
S
в точке
X
(
u
0
,
v
0
). Тогда не-
трудно доказать, что у точки
X
существует окрестность, которую в декартовых
координатах
x
,
y
,
z
можно задать явным уравнением
z
=
f
(
x
,
y
). Более того,
если вектор-функция
( )
u,v
=
r r
регулярной параметризации поверхности
S
k
раз непрерывно дифференцируема, то функция
f
(
x
,
y
) в достаточно малой окре-
