87
(
L
–
kE
)
du
+ (
M
–
kF
)
dv
= 0,
(
M
–
kF
)
du
+ (
N
–
kG
)
dv
= 0.
Эта система уравнений всегда имеет ненулевое решение, так как в каждой
точке поверхности существуют главные направления.
Следовательно, детерминант этой системы однородных линейных уравне-
ний равняется нулю:
(
) (
)
(
) (
)
0
L kE M kF
M kF N kG
−
−
=
−
−
.
Отсюда получается квадратное уравнение относительно кривизны
k
:
(
EG
–
F
2
)
k
2
+ (2
MF
–
EN
–
LG
)
k
+ (
LN
–
M
2
) = 0.
Для гауссовой и средней кривизны, согласно формулам Виета, получим
следующие выражения
K
=
k
1
∙
k
2
= (
LN
–
M
2
)/ (
EG
–
F
2
), (3.57)
2
H
=
k
1
∙+∙
k
2
= (
EN
- 2
MF
+
LG
)/ (
EG
–
F
2
). (3.58)
Если в произвольной точке
X
(
u
,
v
) регулярной поверхности
S
с регуляр-
ной параметризацией
r
(
u
,
v
) координатные линии направлены по главным на-
правлениям, то в этой точке коэффициенты первой и второй квадратичных
форм будут
F
= 0 и
M
= 0. (3.59)
Это является необходимым и достаточным условием. В этом случае, как
следует из равенств (3.10) и (3.21), квадратичные формы I и II имеют вид
I =
Tdu
2
+
Gdv
2
, (3.60)
II =
Ldu
2
+
Ndv
2
. (3.61)
Если кривая
L
на регулярной поверхности
S
в каждой своей точке на-
правлена по какому-либо из этих двух главных направлений, то такая кривая
называется линией кривизны. Если поверхность не содержит омбилических то-
чек, то систему внутренних координат на такой поверхности всегда можно вы-
брать так, чтобы координатными линиями были линии кривизны. На всех точ-
ках такой поверхности удовлетворяются условия (3.59) и имеют место равенст-
ва (3.60) и (3.61).
Следовательно, для нормальной (
k
1
,
k
2
), гауссовой (
K
) и средней (
H
) кри-
визн справедливы формулы
k
1
=
L
/
E
,
k
2
=
N
/
G
, (3.62)
K
=
L
∙
N
/(
E
∙G), 2
H
= (
L
∙
G
+
E
∙
N
)/(
E
∙
G
). (3.63)
3.13. Теоремы Родрига и Гаусса
Если в точке
X
(
u
,
v
) регулярной поверхности
S
с регулярной параметри-
зацией
( )
u,v
r
и единичным вектором нормали
( )
u,v
n
к касательной плоскости
в точке
X
(
u
,
v
) координатные линии направлены по главным направлениям, то
1
1
2
2
,
u
u
v
v
k
k
k
k
u
u
v
v
n r
n
r
n
r n
r
∂
∂
∂
∂
≡ =− =−
≡ =− =−
∂
∂
∂
∂
. (3.64)
