86
Нахождение направлений главных нормальных сечений – это нахождение
тех значений отношения (
du
:
dv
), при которых кривизна
k
≡ æ
0
достигает своих
максимума и минимума. Для краткости выражений введём обозначения
ξ
=
du
и
η
=
dv
.
После дифференцирования
k
по
ξ
и
η
получим систему уравнений:
∂
k
/∂
ξ
= (2(
L
ξ
+
M
η)
∙
Ι
- 2(
E
ξ
+
F
η)
∙II)/I
2
= 0,
∂
k
/∂
η
= (2(
M
ξ
+
N
η)
∙
Ι
- 2(
F
ξ
+
G
η)
∙II)/I
2
= 0,
которая равносильна системе
(
L
ξ
+
M
η)
∙= (
E
ξ
+
F
η)
∙II/I ,
(
M
ξ
+
N
η)
= (
F
ξ
+
G
η)
∙II/I . (3.53)
Разделив первое уравнение на второе и исключив
k
= II/I, получим
(
L
ξ
+
M
η)
∙(
F
ξ
+
G
η)
- (
M
ξ
+
N
η)
∙(
E
ξ
+
F
η)
∙= 0.
Раскрывая это уравнение, получим
(
LF
-
ME
)
ξ
2
+ (
LG
-
NE
)
ξη
+ (
MG
-
NF
)
η
2
= 0. (3.54)
Это уравнение второго порядка относительно отношения (
ξ
:
η)
≡ (du :
dv), корни которого определяют направления с экстремальными значениями
кривизны нормальных сечений, то есть главные направления.
Уравнение (3.54) можно записать в виде определителя третьего порядка:
2
2
2
0
dv dudv du
E F G E F G
L M N L M N
−η ξη −ξ −
−
≡
=
. (3.55)
Возможны два случая.
1.
В точке
X
(
u
,
v
) имеют место равенства
E
/
L
=
F
/
M
=
G
/
N
= const = æ
0
.
(3.56)
Тогда определитель (3.55) тождественно равен нулю для всех направле-
ний (du : dv) и из (3.52) получается
2
2
0
2
2
II
2
const ж
I
2
Ldu Mdudv+Ndv
k
Edu Fdudv+Gdv
+
= =
= =
+
.
То есть все направления в точке
X
(
u
,
v
) являются главными. Такая точка на-
зывается омбилической точкой поверхности.
2.
Если условие (3.56) не выполняется, то в уравнении (3.54) хотя бы один
из коэффициентов не равен нулю и это уравнение всегда имеет два реше-
ния, которые соответствуют двум главным направлениям.
3.12. Нахождение кривизны
Если известно, что направление (
du
:
dv
) является главным нормальным
сечением регулярной поверхности
S
, то кривизна этого нормального главного
сечения определяется равенством (3.52), причём
du
2
+
dv
2
≠ 0. В этом случае
система уравнений (3.53) приводится к виду
Ldu
+
Mdv
–
k
(
Edu
+
Fdv
) = 0,
Mdu
+
Ndv
–
k
(
Fdu
+
Gdv
) = 0.
После группировки подобных членов получим
