82
Оси
x
и
y
будут лежать в касательной плоскости. В малой окрестности точки
X
перейдём к параметризации
x
=
x
,
y
=
y
,
z
=
z
(
x
,
y
). В такой системе коор-
динат малая окрестность точки
X
на поверхности
S
задаётся явным уравнени-
ем
z
=
z
(
x
,
y
) в малой окрестности
V
точки (0, 0) на плоскости
x
,
y
, причём
z
(0, 0) = 0,
z
x
(0, 0) = 0,
z
y
(0, 0) = 0. (3.37)
Функция
z
(
x
,
y
)
k
раз (
k
≥ 2) непрерывно дифференцируема. Её разложе-
ние в ряд Тейлора в точке (0, 0), с учётом (3.37) имеет вид
z
(
x
,
y
) = (
z
xx
(0, 0)
x
2
+ 2
z
xy
(0, 0)
xy
+
z
yy
(0, 0)
y
2
)/2 +
ε
(
x
,
y
)(
x
2
+
y
2
) = 0, (3.38)
где
(
)
( )
2 2
0
lim ε
0
x y
x,y
+ →
=
.
График главной части в разложении (3.38) представляет собой параболо-
ид
( )
( )
( )
( )
(
)
2
2
0
1 0,0 2 0,0
0,0
2
xx
xy
yy
Z x,y
z
x z
xy+z
y
=
+
, (3.39)
который называется соприкасающимся параболоидом поверхности
S
в точке
X
.
Поверхность
S
в малой окрестности точки
X
отличается от соприкасающе-
гося параболоида на величину, являющейся более чем второго порядка ма-
лости по отношению к (
x
2
+
y
2
)
1/2
. Поэтому все геометрические характеристи-
ки поверхности в точке
X
, зависящие от первых и вторых производных функ-
ции
z
(
x
,
y
) в точке
X
, совпадут с соответствующими величинами для соприка-
сающегося параболоида. Таковыми являются коэффициенты первых и вторых
квадратичных форм, нормальные кривизны и касательные плоскости в точке
X
.
Из аналитической геометрии известно, что соответствующим поворотом
осей
x
и
y
в касательной плоскости уравнение соприкасающегоя параболоида
можно привести к виду
Z
0
(
x
,
y
) = (
k
1
x
2
+
k
2
y
2
)/2. (3.40)
Направления в точке
X
, соответствующие координатным осям
x
и
y
, в
которых соприкасающийся параболоид имеет вид (3.40), называются главны-
ми направлениями в точке
X
.
Нормальные сечения поверхности в точке
X
, проведённые в главных на-
правлениях, называются главными нормальными сечениями, а нормальные
кривизны поверхности, соответствующие главным направлениям называются
главными нормальными кривизнами.
3.8. Средняя и гауссова кривизны поверхности
Главные нормальные сечения соприкасающегося параболоида представ-
ляют собой параболы
Z
0
(
x
,
y
=0) =
k
1
x
2
/2, (3.41)
Z
0
(
x
=0,
y
) =
k
2
y
2
/2. (3.42)
Кривизны этих сечений в точке
X
будут соответственно равны
0
1
1
2 0
0
ж
1
x=
x
Z
k
Z
′′
=
=
′ +
и
0
2
2
2 0
0
ж
1
y=
y
Z
k
Z
′′
=
=
′ +
. (3.43)
