84
•
В случае, если
k
1
и
k
2
одновременно равны нулю,
X
называется точкой
уплощения, и в малой её окрестности поверхность может иметь очень
сложное строение. Исследование поверхности в этом случае связано с
рассмотрением производных функции
z
(
x
,
y
) выше второго порядка, так
как производные первого и второго порядка в точке
X
равны нулю.
3.10. Теорема Эйлера о свойствах главных направлений
Теорема Эйлера утверждает, что главные направления обладают экстре-
мальными свойствами.
Определим коэффициенты первой и второй квадратичной форм (3.9) и
(3.23) поверхности
S
в точке
X
. Воспользуемся уравнением соприкасающего-
ся параболоида (3.40). Напомним, что их производные первого и второго поряд-
ка совпадают, поэтому квадратичные формы идентичны. В соответственно вы-
бранной декартовой ортогональной системе координат (см. (3.37))
x
,
y
,
z
вектор-
функцию
( ) ( )
u,v x,y
r
r
≡
регулярной параметризации поверхности
S
можно
представить в виде
( )
( )
x,y x y z x,y
r
i
j
k
= + +
; (3.44)
( ) ( )
( )
x
x
x,y
x,y
z x,y
x
r
r
i
k
∂
≡
= +
∂
;
( ) ( )
( )
y
y
x,y
x,y
z x,y
y
r
r
j
k
∂
≡
= +
∂
.
Следовательно, из равенств (3.9) с учётом условий (3.37) получим
(
)
2
2
2
2
1 1,
,
0,
1 1
x
x
x y
x y
y
y
E= z F
z z G z
r
r r
r
= + = = = = = = + =
. (3.45)
Первая квадратичная форма в направлении (
dx
,
dy
) будет
I =
dx
2
+
dy
2
. (3.46)
Вторая квадратичная форма определяется из (3.24) и (3.40) с учётом
(3.37).
1
2
2 2
2 2
2 2
,
0,
1
1
1
xy
yy
xx
x
y
x
y
x
y
z
z
z
L
k M
N
k
z z
z z
z z
=
=
=
= =
=
+ +
+ +
+ +
. (3.47)
Для направления (
dx
,
dy
) из равенства (3.21) получим
II =
k
1
dx
2
+
k
2
dy
2
. (3.48)
Первое главное нормальное сечение поверхности
S
, имеющее направле-
ние (
dx
0
: 0) в точке
X
есть парабола
Z
0
=
k
1
x
2
/2 касательной, которой являет-
ся ось
x
. Согласно (3.36) кривая этого нормального сечения в точке
X
имеет
кривизну
æ
0
= æ∙cos
ψ
= II/I =
k
1
dx
2
/
dx
2
=
k
1
.
Второе главное нормальное сечение поверхности
S
, имеющее направление
(0 :
dy
0
) в точке
X
есть парабола
Z
0
=
k
2
y
2
/2 касательной, которой является ось
y
.
Согласно (3.36) кривая этого нормального сечения в точке
X
имеет кри-
визну
æ
0
= æ∙cos
ψ
= II/I =
k
2
dy
2
/
dy
2
=
k
2
.
