77
0 ≤
ϕ
< 2
π
и -
π
/2 ≤
θ
≤
π
/2.
Уравнения сферы в этих координатах будут
x
=
R
cos
ϕ
cos
θ,
y
=
R
sin
ϕ
cos
θ,
z
=
R
sin
θ.
(3.15)
Вектор-функция
( ) ( )
(
)
( )
φ,θ φ,θ
φ,θ
φ θ
x
y
z ,
r
i
j
k
=
+
+
,
представляющая собой параметризацию сферы, всюду регулярна кроме точек
полюсов сферы. Коэффициенты первой квадратичной формы, определяемые со-
гласно (3.9), равны
E
=
r
2
ϕ
=
R
2
cos
2
θ,
F
= 0,
G
=
r
2
θ
=
R
2
. (3.16)
Следовательно, первая квадратичная форма сферы имеет вид
I =
R
2
cos
2
θ
d
ϕ
2
+
R
2
d
θ
2
.
(3.17)
Пусть
L
- некоторая кривая на поверхности
S
с внутренними уравнениями
ϕ
=
ϕ
,
θ
=
f
(
ϕ)
, где (
ϕ
1
≤
ϕ
≤
ϕ
2
) (в качестве параметра
t
выбрана долгота
ϕ
),
тогда его длина определяется по формуле
( )
( )
(
)
( )
(
)
2
1
φ
1/ 2
2
2
φ
cos
φ
φ φ
s L R
f
f
d
′
=
+
∫
.
(3.18)
Задавая явный вид функции
f
(
ϕ)
, можно найти длину
s
(
L
).
Рис. 24
П р и м е р 2. Пусть регулярная поверхность
S
задана явным уравнением
z
=
z
(
x
,
y
), где
z
(
x
,
y
) -
k
раз непрерывно дифференцируемая функция в про-
стой области
G
на плоскости
xOy
(см. рис. 25,
а
). Вектор функция
( )
x,y
r
ре-
гулярной параметризации поверхности
S
будет иметь вид
( )
( )
x,y x y z x,y
r
i
j
k
= + +
.
Следовательно,
,
x
x
y
y
z
z
r i
k r j k
= +
= +
.
z
n
L
Ψ
R
M
s
(
L
)
t
θ
m
O
y
S
ϕ
x
а
б
