76
( )
(
)
(
)
1/ 2 2
/
/
/
/
/
b
b
b
u
v
u
v
a
a
a
s L dR dt dt
r du dt r dv dt dt
r du dt r dv dt
dt
=
=
+
=
+
∫
∫
∫
или
( )
(
)
(
)(
) (
)
(
)
1/ 2
2
2
/
2 /
/
/
b
a
s L E du dt + F du dt dv dt +G dv dt
dt
=
∫
. (3.12)
Таким образом, для измерения длин кривых на поверхности необходимо
знать первую квадратичную форму. Очевидно, что первая квадратичная форма
даёт метрику поверхности.
Направлением (
du
:
dv
) в данной точке
X
(
u
,
v
) на поверхности
S
назы-
вают направление вектора
u
v
d du+ dv
r r r
=
, где
( )
u,v
r r
=
- вектор-функция ре-
гулярной параметризации поверхности
S
. Углом между направлениями (
du
:
dv
)
и (
δ
u
:
δ
v
) является угол θ между векторами
u
v
d du+ dv
r r r
=
и
δ δ δ
u
v
u+ v
r r r
=
.
С учётом этих выражений и равенств (3.9) получим
(
)
(
)
,δ
δ
δ δ
δ
d
Edu u+F du v+dv u Gdv v
r r
=
+
,
2
2
2
I
2
d =Edu Fdudv+Gdv
r
=
+
2
2
2
δ I δ 2 δ δ δ
=E u F u v+G v
r
=
+
.
Поскольку по определению
(
)
,δ
δ θ
d
d cos
r r r r
=
,
то, с учётом последних трёх равенств получим
(
) (
) (
)
(
)
2 2
2 2
2
2
2
2
,δ
,δ
,δ
cosθ
δ
δ
δ
δ
δ δ
δ
.
2
δ 2 δ δ δ
d
d
d
d
d
d
Edu u+F du v+dv u Gdv v
Edu Fdudv+Gdv E u F u v+G v
r r
r r
r r
r r
r r
r r
=
=
=
=
+
=
+
+
(3.13)
Таким образом, кривая
L
на поверхности, заданной регулярной вектор -
функцией
( )
u,v
r r
=
, в точке (
u
,
v
) имеет направление (
du
:
dv
), если вектор
u
v
d du+ dv
r r r
=
есть касательный вектор кривой
L
в этой точке.
Определим угол между координатными линиями на заданной поверхности
(рис. 23,
б
). Координатные линии
l
:
v
=
v
0
= const имеют направление (
du
, 0), а
линии
m
:
u
=
u
0
= const - направление (0,
δ
v
). Подставляя эти значения
dv
= 0
и
δ
u
= 0 в выражение для cos
θ
, получим
2
2
δ
cosθ
.
δ
Fdu v
F
EG
Edu G v
=
=
(3.14)
Следовательно, координатная сеть на поверхности
S
будет ортогональна
только в том случае, когда
F
= 0.
П р и м е р 1. Найдём первую квадратичную форму для сферы радиуса
R
с центром в начале координат. В качестве внутренних координат выберем гео-
графические координаты – долготу
ϕ
и широту
θ
(рис. 24). Интервал их
значений будет
