85
Проведём теперь нормальное сечение поверхности
S
, составляющее в
точке
X
с направлением первого главного нормального сечения угол
ϕ
. Если
(
dx
:
dy
) – направление этого сечения, то угол
ϕ
между осью
x
(
dx
0
: 0) и на-
правлением (
dx
:
dy
), согласно (3.13), будет
cos
ϕ
=
Edx
0
dx
/(
dx
0
2
(
Edx
2
+
dy
2
))
1/2
=
Edx
/(
E
(
Edx
2
+
Gdy
2
))
1/2
.
Подставляя значения
E
и
G
из (3.45) получим
cos
ϕ
=
dx
/(
dx
2
+
dy
2
)
1/2
. (3.49)
Угол
ϑ
между направлением (
dx
:
dy
) и осью y (0 :
dy
0
), согласно (3.13),
будет
cos
ϑ =
sin
ϕ
=
dy
/(
dx
2
+
dy
2
)
1/2
. (3.50)
Здесь мы учли, что
ϑ
+
ϕ
=
π
/2 есть угол между осями
x
и
y
.
С другой стороны, кривизна нормального сечения в направлении (
dx
:
dy
),
согласно (3.34), (3.36), (3.46), (3.48) - (3.50), будет
æ
0
= æ∙cos
ψ
= II/I = (
k
1
dx
2
+ k
2
dy
2
)/(
dx
2
+
dy
2
) =
k
1
cos
2
ϕ
+
k
2
sin
2
ϕ
.
Соотношение
æ
0
≡
k
=
k
1
cos
2
ϕ
+
k
2
sin
2
ϕ
(3.51)
называется формулой Эйлера и составляет содержание теоремы Эйлера.
Выражение (3.51) легко привести к виду
æ
0
≡
k
=
k
1
(1 - sin
2
ϕ)
+
k
2
sin
2
ϕ
=
k
1
- (
k
1
-
k
2
) sin
2
ϕ
.
Следовательно:
•
если
k
1
>
k
2
, то кривизна æ
0
≡
k
достигает своего максимума, когда
sin
2
ϕ
= 0 или при
ϕ
= 0,
π
и минимума, когда sin
2
ϕ
= 1 или при
ϕ
=
π
/2,
3
π
/2;
•
если
k
1
<
k
2
, то кривизна æ
0
≡
k
достигает своего минимума, когда
sin
2
ϕ
= 0 или при
ϕ
= 0,
π
и максимума, когда sin
2
ϕ
= 1 или при
ϕ
=
π
/2,
3
π
/2;
•
если
k
1
=
k
2
, то для любого направления (
dx
:
dy
) нормального сечения
кривизна æ
0
≡
k
=
k
1
остаётся постоянной. В этом случае соприкасаю-
щийся параболоид является параболоидом вращения, все направления
равноправны, и любое направление считается главным. Наблюдается не-
строгий экстремум.
Точки регулярной поверхности
S
могут быть только двух таких типов.
Кривые двух главных нормальных сечений в произвольной точке
X
по-
верхности
S
обладают экстремальными значениями кривизны в данной точке
X
.
3.11. Нахождение главных направлений и
омбилические точки
Пусть (
du
:
dv
) - произвольное направление в точке
X
(
u
,
v
) регулярной
поверхности
S
с регулярной параметризацией
( )
u,v
r
. Кривизна нормального
сечения в точке
X
, соответствующая этому направлению, согласно (3.34), бу-
дет
2
2
0
2
2
II
2
ж жcosΨ
I
2
Ldu Mdudv+Ndv
k
Edu Fdudv+Gdv
+
≡ =
= =
+
. (3.52)
