79
(
)
(
) (
)
(
)
,
, 2
,
,
,
,
u u
u v
v u
v v
L -
M -
-
N -
r n
r n r n
r n
=
=
+
=
(3.20)
Следовательно,
2
2
II
2
Ldu Mdudv Ndv
= +
+
. (3.21)
Так как
(
)
,
0
d
r n
=
, следовательно,
(
)
(
)
(
)
2
,
,
,
0
d d
d
d d
r n r n r n
=
+
=
или
(
)
(
)
2
,
,
d
d d
r n r n
= −
.
С учётом того, что
( )
(
)
2
2
2
u
v
uu
uv
vu
vv
d d d d du dv du dudv+ dvdu+ dv
r
r
r r
r
r
r
r
= =
+ = +
и
uv vu
r r
=
получаем
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
II
r n r n r n
2 r n
r n
uu
uv
vv
= d d d
du
dudv+ dv
,
,
,
,
,
−
=
=
+
. (3.22)
Следовательно,
(
)
(
)
(
)
,
,
,
uu
uv
vv
L
, M , N
r n
r n
r n
=
=
=
. (3.23)
В частности, если поверхность задана явным уравнением
z
=
z
(
x
,
y
), то
есть вектор-функция
( )
( )
x,y x y z x,y
r
i
j
k
= + +
, то
2 2
2 2
2 2
,
,
1
1
1
xy
yy
xx
x
y
x
y
x
y
z
z
z
L
M=
N
z z
z z
z z
=
=
+ +
+ +
+ +
.
(3.24)
3.5. Кривизна кривой на поверхности.
Формулы Френе
Кривая от прямой линии отличается ненулевой скоростью вращения еди-
ничного касательного вектора
t
при перемещении точки вдоль кривой, и чем
больше эта скорость, тем больше кривая по своей пространственной форме от-
личается от прямой. Скорость вращения единичного вектора
t
касательной
при перемещении вдоль кривой
L
даётся длиной вектора
/
d ds
t
, поэтому кри-
визна кривой определяется равенством
( )
ж
d s ds
t /
=
. (3.25)
Кривизна является неотрицательной функцией точки кривой. Орт-вектора
( )
/
d s ds
t
обозначается через
m
. Следовательно,
ж
d ds
t /
m
=
. (3.26)
Единичный вектор
m
перпендикулярен единичному вектору
t
и назы-
вается главной нормалью
L
в точке
X
(
s
0
). Главная нормаль определена в тех
точках кривой, где кривизна
ж
отлична от нуля.
При перемещении точки вдоль регулярной кривой
L
в направлении воз-
растания естественного параметра
s
вместе с точкой перемещаются касатель-
ная кривой и соприкасающаяся плоскость, которая проходит через векторы
t
и
m
. Регулярные кривые могут быть плоскими и пространственными. Для пло-
ских кривых соприкасающаяся плоскость одна и та же для всех точек кривой.
Прямая линия, в отличие от кривой, в каждой точке имеет бесконечное множе-
