88
Поскольку
( )
u,v
n
является единичным вектором, то в каждой точке по-
верхности векторы
u
n
и
v
n
перпендикулярны к
( )
u,v
n
и лежат в касательной
плоскости. Значит, учитывая условие (3.5), можно написать
α β
u
u
v
n r r
= +
и
γ δ
v
u
v
n r r
= +
,
где
α
,
β
,
γ
,
δ
- некоторые константы. Для их определения используем обозна-
чения (3.9), (3.22) и имеющие силу условия (3.59) в равенствах
(
)
(
)
2
,
α β ,
α β α
u u
u
u v
E+ F= E
r n r r r
= +
=
, (3.65)
(
) (
)
2
,
α ,
β α β β
v u
v u
v
F+ G= G
r n r r r
=
+ =
. (3.66)
С другой стороны, посколку
( )
,
0
u
r n
=
и
( )
,
0
v
r n
=
,
то
( ) (
) (
)
,
,
,
0
u
u u
uu
u
r n
r n r n
∂
=
+
=
∂
и
( ) (
) (
)
,
,
,
0
v
v u
uv
u
r n
r n r n
∂
=
+ =
∂
.
Следовательно,
(
) (
)
,
,
u u
uu
L
r n r n
=−
=−
,
(3.67)
(
) (
)
,
,
0
v u
uv
M
r n r n
=− =− =
. (3.68)
Сравнивая эти равенства с равенствами (3.65) и (3.66) с учётом (3.62),
находим
α
= -
L
/
E
= -
k
1
,
β
= -
M
/
G
= 0.
Таким же образом доказывается, что
γ
= 0,
δ
= -
k
2
.
Отображение регулярной поверхности
S
в сферу
S
0
c единичным радиу-
сом, осуществляемое вектор-функцией
( )
[
]
[
]
,
,
u v
u v
u,v
r r
n n
r r
=
=
, (3.69)
называется сферическим изображением поверхности
S
. Каждая точка
X
(
u
,
v
) Є
S
имеет своим образом на сфере
S
0
точку
X
(
u
,
v
), в которой касательная плос-
кость к
S
0
параллельна касательной плоскости к
S
в точке
X
(
u
,
v
). Точка X
(u,
v) называется сферическим изображением точки
X
(u,
v
). Сферическое изобра-
жение представляет собой поверхность заданной вектор функцией (3.69). Все
точки этой поверхности лежат на сфере
S
0
. Окркстности
U
точки
X
(
u
,
v
) на
S
соответствует некоторое множество
U
на сфере
S
0
. Площадь множества
U
на сфере
S
0
называется
площадью сферического изображения
U
. Её обозна-
чают через
ω
(
U
).
Т е о р е м а Г а у с с а
. Если диаметр
d
области
U
стремится к нулю, то
( ) ( )
( )
0
limω / σ
d
U U K X
→
=
, (3.70)
где
σ
(
U
) – площадь области
U
, а
K
(
X
) - гауссова кривизна поверхности
S
в
точке
X
(
u
,
v
).
Д о к а з а т е л ь с т в о
. Пусть в окрестности
U
точки
X
(
u
,
v
) коорди-
натные линии являются линиями кривизны. Тогда
( )
[
]
ω
,
u v
U
U
dudv
n n
=
∫∫
. (3.71)
