68
Это возможно, поскольку
f
x
и
f
y
являются гармоническими функциями.
С учётом этих обозначений получим
divf
.
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
z
z
f
g
f
g
f
f
x y z x z
y z
z
g
g
g
g
f
f
z x z y
z z x y
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= + + =
+
+ =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
+
+ =
+ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Подстановкой в (2.82) приходим к равенству
(
)
1
Δφ
2 1 σ
y
x
z
g g
f
z x y
∂
∂∂
=−
+ +
− ∂ ∂ ∂
. (2.85)
Решение (2.85) можно представить в виде
(
)
φ
Ψ
4 1 σ
y
x
z
g g
z
f
x y
∂
∂
=−
+ + +
− ∂ ∂
,
(2.86)
где
ψ
- гармоническая функция
∆ψ
= 0. (2.87)
Действительно, применив к (2.86) оператор Лапласа с учётом того, что
функции
g
x
,
g
y
,
f
z
,
ψ
удовлетворяют уравнению Лапласа, приходим к равенст-
ву (2.85).
Следовательно, определив функции
g
x
,
g
y
,
f
z
,
ψ
можно найти вектор
f
и скаляр
ϕ
из равенств (2.83) и (2.86) соответственно. Зная
f
и
ϕ
, можно
найти вектор деформации
u
из (2.80).
Для определения величин
g
x
,
g
y
,
f
z
,
ψ
воспользуемся граничными усло-
виями, которые должны выполняться на поверхности среды, то есть на плоско-
сти
z
= 0.
Согласно общей формуле (2.18) и с учётом того, что внешняя нормаль на-
правлена против оси
z
, элементы тензора напряжений представляются в виде
σ
iz
=
-
P
i
, или
σ
xz
=
-
P
x
,
σ
yz
=
-
P
y
,
σ
zz
=
-
P
z
. (2.88)
Используя выражения (2.61) для
σ
iz
, получим
u
xz
= -
P
x
(1 +
σ
)/
E
, (2.89)
u
yz
= -
P
y
(1 +
σ
)/
E
, (2.90)
u
zz
(1 -
σ
)/(1 - 2
σ
) + (
u
xx
+
u
yy
)
σ/
(1 - 2
σ
) = -
P
z
(1 +
σ)
/
E
. (2.91)
Пусть
, ,
i j k
- единичные векторы осей
x
,
y
,
z
соответственно, тогда,
согласно (2.80), вектор
u
можно представить в виде суммы
(
)
(
)
(
)
φ /
φ /
φ /
x
y
z
f
x
f
y
f
z
= +∂ ∂ + +∂ ∂ + +∂ ∂
u
i
j
k
,
или с учётом (6.83)
(
)
(
)
(
)
φ /
φ /
φ /
x
y
z
g / z
x
g / z
y
f
z
= ∂ ∂ +∂ ∂ + ∂ ∂ +∂ ∂ + +∂ ∂
u
i
j
k
. (2.92)
Элементы
u
ik
тензора деформации выражаются через составляющие
u
i
вектора деформации
u
на оси координат
x
,
y
,
z
, согласно (2.68),
u
ik
= (∂
u
i
/∂
x
k
+ ∂
u
k
/∂
x
i
)/2.
Следовательно, с учетом (2.92) и (2.68), получим
