67
Следовательно, применив к обеим частям (2.78′) оператор Лапласа, по-
лучим:
∆∆χ
(
x
,
y
) = 0, (2.79′)
то есть функция напряжений
χ
является бигармонической функцией.
После решения (2.79′) и определения функции
χ
(
x
,
y
) выражение про-
дольного напряжения
σ
zz
из (2.61) можно представить в виде
σ
zz
= (
u
xx
+
u
yy
)
E
σ
/((1 +
σ)
(1 - 2
σ
)) =
σ
(
σ
xx
+
σ
yy
) =
σ ∆χ
. (2.79).
2.11. Равновесие упругой среды, ограниченной плоскостью
Пусть плоскость
XOY
правой прямоугольной декартовой системы коорди-
нат делит пространство на две части. Пусть полупространство, содержащее по-
ложительную полуось
z
, заполнено однородной упругой изотропной средой.
Определим вектор деформации
u
среды под влиянием сил, приложен-
ных к её поверхности, то есть к плоскости
XOY
. Единственным ограничением
для распределения этих сил на бесконечности является требование отсуствия
деформации среды на бесконечности, то есть силы на бесконечности должны
исчезать с достаточной для этого быстротой. Малые деформации обеспечивают
применимость принципа суперпозиции.
Эта задача аналогична задаче определения потенциала
ϕ
электростатиче-
ского поля в полупространстве положительных значений
z
, созданного заряда-
ми, распределёнными на плоскости
XOY
. Единственным ограничением для рас-
пределения этих зарядов является требование равенства нулю значения
ϕ
на
бесконечности. Условием применимости принципа суперпозиции в этом случае
является независимость диэлектрической проницаемости
ε
a
однородной среды
от напряжённости электростатического поля, созданного зарядами на плоско-
сти, то есть связь
ε
a
=
D E
должна оставаться линейной.
Во всём полупространстве, занимаемой средой, справедливо уравнение
(2.72):
(
)
1 2σ Δ graddiv 0
−
+
=
u
u
.
Решение этого уравнения будем искать в виде
gradφ
= +
u f
,
(2.80)
где
ϕ
- некоторый скаляр, а вектор
(
)
, ,
x y z
f f f
=
f f
- гармоническая функция,
удовлетворяющая уравнению Лапласа:
Δ 0
=
f
. (2.81)
Подстановка (2.80) в (2.72) с учётом (2.81) приводит к уравнению для
ϕ
:
(
)
2 1 σ Δφ div
− =−
f
. (2.82)
Пусть составляющие вектора
f
по осям
x
и
y
представляются в виде
f
x
= ∂
g
x
/∂
z
,
f
y
= ∂
g
y
/∂
z
, (2.83)
то есть,
(
) (
)
, ,
/ ,
/ ,
x y z
x
y
z
f f f
g z g z f
=
= ∂ ∂ ∂ ∂
f f
f
, где
g
x
и
g
y
- гармонические
функции:
∆
g
x
= 0,
∆
g
y
= 0. (2.84)
