66
Учёт внешних сил производится посредством граничных условий.
Применив к (2.73) операцию div с учётом, что div grad ≡
∆
, находим
Δdiv 0
=
u
, (2.74)
то есть величина
div
u
,
определяющая изменение объёма тела вследствие де-
формации, является гармонической функцией.
Если к (2.73) применить оператор Лапласа
∆
, то приходим к уравнению
ΔΔ 0
=
u
. (2.75)
Следовательно, в состоянии равнсвесия вектор деформации
u
удовле-
творяет бигармоническому уравнению (2.75). Эти выводы остаются справедли-
выми и в случае, когда кроме поверхностных сил влияют и однородные объём-
ные силы, поскольку после применения операторов div или
∆
правые части
равенств (2.70) и (2.71) превращаются в нуль.
2.10. Плоская деформация
Рассмотрим плоскую деформацию, при которой во всём объёме одна из
компонент вектора деформации
u
равна нулю (
u
z
= 0), а другие две компонен-
ты зависят толко от координат
x
и
y
(
u
x
и
u
y
зависят только от
x
, и
y
).
Подставляя эти данные в (2.68), получим
u
zz
=
u
xz
=
u
yz
= 0. (2.76)
Подстановка этих значений
u
ik
в (2.61) даёт
σ
xz
=
σ
yz
= 0.
Легко убедиться, что
σ
zz
≠ 0 и что ненулевым напряжением
σ
zz
обеспе-
чивается постоянство длины тела вдоль оси
z
. Поскольку ни одна из величин не
зависит от координаты
z
то общее уравнение равновесия (2.16) при отсутст-
вии объемных внешних сил представляется системой двух уравнений:
∂
σ
xx
/∂
x
+ ∂
σ
xy
/∂
y
= 0, ∂
σ
yx
/∂
x
+ ∂
σ
yy
/∂
y
= 0. (2.77)
Наиболее общим решением этой системы являются функции
σ
xx
= ∂
2
χ/
∂
y
2
,
σ
xy
= - ∂
2
χ/
∂
x
∂
y
,
σ
yy
=∂
2
χ/
∂
x
2
, (2.78)
где
χ
=
χ
(
x
,
y
) есть функция от
x
и
y
и называется функцией напряжений.
Из (2.68) и (2.61) следует, что три величины -
σ
xx
,
σ
xy
и
σ
yy
-зависят только
от двух величин (независимых аргументов)
u
x
и
u
y
.
Следовательно, между ними должна существовать связь. Действительно,
из (2.68) с учётом (2.76) получим
σ
xx
+
σ
yy
= (
u
xx
+
u
yy
)
E
/((1 +
σ)
(1 - 2
σ
)).
Но из (2.78) следует, что
σ
xx
+
σ
yy
=
∆χ
(
x
,
y
),
а из (2.68) следует, что
/
/
div
xx
yy
x
y
u u u x+ u y
+ =∂ ∂ ∂ ∂ ≡
u
.
Таким образом,
( ) ( )(
)
Δχ
div
1 σ 1 2σ
E
x,y
+
=
−
u
. (2.78′)
Согласно (2.74),
div
u
в отсутствие неоднородных объёмных сил являет-
ся гармонической функцией (удовлетворяет уравнению Лапласа).
