65
u
zz
= (
σ
zz
-
σ
(
σ
xx
+
σ
yy
))/
E
,
u
xy
=
σ
xy
(1 +
σ
)/
E
, u
xz
=
σ
xz
(1 +
σ
)/
E
,
u
yz
=
σ
yz
(1 +
σ
)/
E
.
Рассмотрим одностороннее сжатие стержня вдоль его длины по оси
z
.
При такой деформации боковая поверхность стержня ограничена таким обра-
зом, что поперечные размеры не могут меняться
.
Из всех шести независимых
компонент симметричного тензора деформации
u
ik
отличен от нуля только
u
zz
.
Из (2.61) получаем
σ
xx
=
σ
yy
=
u
zz
E
σ
/((1 +
σ)
(1 - 2
σ
)),
σ
zz
=
u
zz
E
(1 -
σ)
/((1 +
σ)
(1 - 2
σ
)). (2.63)
Пусть
P
- значение постоянного давления на торцевые поверхности. То-
гда
σ
zz
=
P
, где
P
отрицательна при сжатии. Из второго равенства в (2.63) находим
u
zz
=
P
((1 +
σ)
(1 - 2
σ
))/(
E
(1 -
σ)
). (2.64)
Подставляя
u
zz
в первое равенство (2.63) получим
σ
xx
=
σ
yy
=
P
σ
/(1 -
σ)
. (2.65)
Свободная энергия
F
деформации стержня, согласно (2.50), будет
F
=
σ
ik
u
ik
/2 =
σ
zz
u
zz
/2 =
Pu
zz
/2 =
P
2
((1 +
σ)
(1 - 2
σ
))/(2
E
(1 -
σ)
). (2.66)
2.9. Уравнение равновесия изотропных тел
Если в общее уравнение равновесия изотропных твёрдых тел, находящих-
ся под влиянием (объёмных) сил тяжести ∂
σ
ik
/∂
x
k
+
ρ
g
i
= 0 (2.16), подставить
выражение для тензора напряжений
σ
ik
= E(u
ik
+ u
ll
δ
ik
σ/
(1 - 2
σ
))/(1 +
σ)
(2.59),
то получим уравнение
E
/
(1 +
σ)
∂
u
ik
/∂
x
k
+
E
σ/(
(1 +
σ)
(1 - 2
σ
)) ∂
u
ll
/∂
x
i
+
ρ
g
i
= 0. (2.67)
Элементы симметричного тензора деформаций (2.1):
u
ik
= (∂
u
i
/∂
x
k
+ ∂
u
k
/∂
x
i
+ ∂
u
l
/∂
x
k
∂
u
l
/∂
x
i
)
/2,
для малых упругих деформаций (∂
u
l
/∂
x
k
<< 1) принимают вид
u
ik
≈ (∂
u
i
/∂
x
k
+ ∂
u
k
/∂
x
i
)/2. (2.68)
Подставляя
u
ik
в (2.67), получим
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
2
2
2
/ 2 1 σ /
/ 2 1 σ 1 2σ /
ρ 0
i
k
l
i
l
i
E
u x E
u x x g
+ ∂ ∂ +
+ − ∂ ∂ ∂ + =
. (2.69)
Эти уравнения в векторных обозначениях примут вид
(
)
(
)
Δ 1/ 1 2σ graddiv ρ 2 1 σ /
E
+ −
=− +
u
u g
, (2.70)
где
/
div
l
l
u x
∂ ∂ ≡
u
, а
2
2
/
i
k
u x
∂ ∂
являются соответствующими компонентами век-
тора
Δ
u
. Используя векторное тождество
(
) (
)
A B,C B A,C C A,B
=
−
или
rotrot
graddiv Δ
=
−
u
u u
, уравнение (2.70) можно привести к другому виду
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
1 2σ
1 σ 1 2σ
graddiv
rotrot
ρ
2 1 σ
1 σ
E
−
+ −
−
=−
−
−
u
u g
. (2.71)
Если тело деформируется под влиянием сил, действующих только на его
поверхности, то уравнения (2.70) и (2.71) принимают вид
(
)
1 2σ Δ graddiv 0
−
+
=
u
u
,
(2.72)
(
)
(
)
2 1 σ graddiv 1 2σ rotrot
0
−
− −
=
u
u
. (2.73)
